数学 因数定理

因数定理を求めて方程式を解きなさい。

x^3-7x+6=0

の求め方教えてください(>_<)

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/23 22:23

#3です。

A#3の続きです。

左辺が
=(x-1)(x+3)(x-2)
と因数分解できたので
方程式は
(x-1)(x+3)(x-2)=0
となり、方程式の解は
x=1,2,-3
と求まる。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/08/23 22:18

左辺にx=1を代入すると

左辺=1-7+6=0
となるので因数定理より左辺は因数(x-1)を持つ。
左辺から(x-1)を(強制的に)括り出すと
x^3-7x+6
=(x-1)x^2+x^2-7x+6
=(x-1)x^2+(x-1)x+x-7x+6
=(x-1)(x^2+x)-6(x-1)
=(x-1)(x^2+x-6)
=(x-1)(x+3)(x-2)

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/08/23 22:14

ｘ＝１のとき

ｘ＾３－７ｘ＋６＝１－７＋６＝０
なので、ｘ＾３－７ｘ＋６は（ｘ－１）を因数としてもちます。そこで
ｘ＾３－７ｘ＋６＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ）
とおいて右辺を展開し、係数を比較します。すると
ーｂ＝６
ｂ－ａ＝－７
よりａ＝１
よって
ｘ＾３－７ｘ＋６＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ－６）
　　　　　　　　＝（ｘ－１）（ｘ＋３）（ｘ－２）
よってこの方程式の解は
ｘ＝１，２、－３

No.1 回答者： Hyokko_Lin 回答日時： 2011/08/23 22:10

まず、xに適当な値を代入して、左辺を0にするxを1つ探します（解の一つですね）。

探すときは、定数項の約数（正負）から探します。
この場合だと、±1、±2、±3ですね。

x = 1のとき、左辺は、1^3 - 7 + 6 = 0となるので、1はこの方程式の解ですね。

このとき、x = 1が解になるので、左辺は(x - 1)を因数に持つことになります。
（このことを、因数定理といいます）
つまり、x^3 - 7x + 6は(x - 1)で割り切れる、ということですね。

x^3 - 7x + 6を(x - 1)で割ると、x^2 + x - 6になります。
つまり、左辺は
x^3 - 7x + 6
= (x - 1)(x^2 + x - 6)
= (x - 1)(x - 2)(x + 3)
と因数分解されます。

よって、この3次方程式の解は、x = 1, 2, -3ということになります。