【問題】
三角形ABCの各辺の外側に、正三角形PBC,QCA,RABをつくり、BQ,CRの交点をOとする
次の各項が成り立つことを示せ
[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
[3]AP、BQ,CRは1点で交わる
この[3]の問題の解答についての質問です
【解答】
ちなみに[2]の解答で
「4点A,R,B,Oは同一円周上」・・・(1)
「4点A,Q,C,Oも同一円周上」・・・(2)
「4点B.P,O,Cも同一円周上」・・・(3)とあり、
[3]の解答
↓
上の(1)、(2)、(3)より、∠P,∠Q、∠Rそれぞれの補角として
∠BOC=∠COA=∠AOB=120°・・・(4)
★いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で
O´は「CR乗で∠CO´A=120°を満たす点」
すなわち「直線CRと三角形QACの外接円との交点」
となるから、O´はOと一致する
結局
AP,BQ,CRは1点Oで交わる
この★以降の部分がよくわかりません…
”同様の考察”もどの部分なのか…
もう少しわかりやすく解説していただけませんか
おねがいします(> <)
No.2
- 回答日時:
AP,CRが(点O'じゃなくて)点Oで交わる⇒AP,BQ,CRが1点で交わる、なので
O'をAP,CRの交点とすれば
[1]と同様の考察により∠AO'C=120°となるが
一方で(4)から∠AOC=120°だし
OもO'もCR上の点ということから
そのようなO'はO'=Oでしかありえない
この回答への補足
それでは、「同様の考察」とは#1さんの言うとおりその直前の考え方のことで、その直前の考え方、つまり[2]の考え方は[1]の考え方で導くから、結局は【[1]の考え方】を指す、ということでしょうか?
補足日時:2011/10/23 17:14No.1
- 回答日時:
>いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で
というのは、直前に出てきた考えのことを表します。
なので、
(1)、(2)、(3)より、∠P,∠Q、∠Rそれぞれの補角として∠BOC=∠COA=∠AOB=120°
を表しています。
要するに、作図をしたら、見る向きを変えてみてください。
そうすると、解答の言っている意味がわかると思います。
正三角形ですので、証明ではすべて相似を示しているといっても過言ではありません。
そして、この手の問題は
[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
が[3]をとくヒントになっていることが多いです。
なので、焦らず考えれば理解できると思います。
補足ですが、解答ではAPとCRを使っていますがAPとBQ、でも同じ結果が出ます。
この回答への補足
>>いま、AP,CRの交点をO´とすると、同様の考察で
>というのは、直前に出てきた考えのことを表します。
>正三角形ですので、証明ではすべて相似を示しているといっても過言ではありません。
>そして、この手の問題は
>[1]BQ=CRかつ∠BOC=120°
>[2]三角形PBC,三角形QCA、三角形RABの外接円は1点で交わる
>が[3]をとくヒントになっていることが多いです。
つまり「直前の考え方」=[2]のことで、そしてこの[2]は[1]の考え方で解くから、解答は★のような書き方をしている、という理解でいいのでしょうか…?(> <)
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