No.4
- 回答日時:
(p→qまたはp→ ̄q)は常に真ですね。
例:boku115は学生である,またはboku115は学生でない。……これは、boku115が学生であっても、学生でなくても真ですよね。
ここで、"boku115は学生でない"ことが"真でない"ことがいえると、"boku115は学生である"ことが真だといえる。
数学っぽい例:
1,2,3,…と続く自然数が無限にあることの証明を背理法でする。
(自然数が無限にあるをまず否定し)
"自然数は有限個である"と仮定する。
有限個ならば自然数の最大値Mが存在する。
ところが、M+1は自然数でありMより大きい。
"自然数の最大値Mが存在する"に矛盾する。
"自然数は有限個"とした仮定は真ではない。
"自然数は有限個または自然数が無限にある"は常に真であるから、"自然数は有限個"は真ではないとすると"自然数が無限にある"は真になる。
No.3
- 回答日時:
背理法とは♯1さんが言ったとおり
「Aが存在することはあり得ない」といったようなことを証明するために使います。
手元にある参考書の例題で説明しますと
「√2+√3は無理数であることを証明したい」
という問題があるとします。このとき
「無理数である」ということを証明することができればそれが一番いいのだけれど、それは難しい。
でも「有理数でない」ということを証明できれば、それは「無理数である」ということがいえますね?
そこで使うのが背理法です。そこで「証明しようとする事柄が成り立たない」ということを仮定して、その仮定をしたことの矛盾を見つけ、「成り立たない」ことが矛盾するのだから(=成り立たないことがあり得ない!ということだから)それは成り立つんだ、ということを証明します。
「~でないこと」「少なくとも一つは~」を証明しろと言った問題で多く使われるようです。そこら辺は解いていくうちに身に付くでしょう。
問に戻ります。
「√2+√3は無理数でない」ということを仮定すると、つまり今仮定した中では「√2+√3は有理数である」ということですね?
そこで √2+√3=aと置くと √3=a-√2と変形できますね?
両辺を2乗して
3=(aの2乗)-2√2×a+2
よって
√2={(aの2乗)-1}/2a
(aの2乗)-1 と 2a (最初に√2+√3は有理数だと仮定しているので)は有理数であるからこの考えで行くと√2が有理数だと言うことになってしまう。√2はどうあがいたって無理数なのだから有理数ではない。だから、この仮定をしていると
√2が無理数であるということに矛盾しているわけです。
そのことが矛盾していると言うことはつまりこの仮定自体が矛盾(ありえないことだ!!ってこと)していると言うことなので、「√2+√3は無理数であることがいえた」
こんな感じで使います。わかりにくくてごめんなさい・・・
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
boku115さん、こんにちは。
>"p→q"や"qである”が真であるこをいうためには、まず ̄q
(qではない)と仮定して矛盾を示すと書いてありますが、これはどんな意味なんでしょうか?
背理法とは、証明したいことがらを、一旦否定して
「もし、~~じゃないとすると」矛盾が生じる、というところから
~~は成り立つ、とする証明方法です。
この参考URLの例題も、難しいですが
「猫は心臓を持つ」という命題が真であるという証明を、背理法でしよう、という試みです。
その前に
・猫は哺乳類である
・哺乳類は心臓を持つ
という条件がついているものとします。
この条件下で、
「猫は心臓を持つ」(すべての猫は心臓を持っている)を否定すると
「ある猫は心臓を持たない」(心臓を持たない猫がいる)となります。
心臓を持たない猫がいる→哺乳類ならば心臓があるはずなので、猫は哺乳類ではない、となる。
→最初の「猫は哺乳類である」とした仮定に矛盾する。
というわけで、「猫は心臓を持つ」という命題が真であることが証明されました。
少し、難しいと感じるなら、もう一つよく出る例として
「√2は無理数である」を背理法を使って証明しましょう。
「√2は無理数である」を否定すると「√2は有理数である」となります。
有理数ならば、ある規約分数で表されるので
√2=p/q(p、qは互いに素)
と書けます。
両辺2乗して、
2=p^2/q^2
2q^2=p^2
ここで、左辺は2の倍数なので、p^2が2の倍数でなければいけません。
ということは、pは2の倍数です。p=2mとします。
このとき、
2q^2=p^2=(2m)^2=4m^2
となるので、
2q^2=4m^2
q^2=2m^2
となりますから、q^2もまた2の倍数、つまりqも2の倍数でなければいけません。
p:2の倍数
q:2の倍数
ということになり、pとqが互いに素である、ということに矛盾します。
よって背理法により√2は無理数であると証明されました。
これらのように「証明したい結論をまず否定して、そこからおかしくなることを導き出せば
証明したい結論が正しいと、証明される」
という方法を、背理法といいます。
http://bruch.sfc.keio.ac.jp/course/IM2-01/12kai/ …
参考URL:http://bruch.sfc.keio.ac.jp/course/IM2-01/12kai/ …
No.1
- 回答日時:
例えば、
「犬は、動物である。」
を背理法で証明するために、
「犬は、動物でない。」
と仮定して、矛盾を示すということです。
「犬は、動物でない。」を矛盾していると示せたら、
「犬は、動物である。」とハッキリと言えますよね。
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