無限直線電荷間における力

「間隔a[ｍ]を隔てた２本の無限直線電荷がある。それぞれの単位長あたりの電荷をQ1およびQ2としたとき、この直線電荷の間に働く力をガウスの定理を用いて求めよ。」

いろいろ考えてたら混乱してきました・・、解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2011/11/28 09:05

そうですね、ちょっと混乱しそうな場面があります。

電場や力はベクトルですから、向きが気になるのでしょう。でも、落ち着いて考えれば、実は単純な状況なのがわかると思います。
　
まず、作用反作用の法則が成り立っていますから、どちらの導線が受ける力で計算しても同じ大きさの力になります。そこで、単位長さあたりＱ１の導線（導線１とします）が作る電場Ｅの中に、もう一方の導線（導線２とします）の電荷が有って、電場Ｅから力を受けている、という状況で、計算しましょう。
　
導線１の電荷密度σ＝Ｑ1[C/m]ですから、この無限長の導線からａ[m]離れた地点での電場Ｅは、ガウスの法則から
Ｅ＝Ｑ1/(2πε・a)
の大きさで、導線１に対して直交するように、かつ放射状に生じています。
これは、導線２上の任意の点で、Ｅは全て同じ大きさ・向き（しかも向きは、導線２に対して垂直）になっていることを意味しています。
　
導線２の電荷は、このＥの向きに力を受けます。
導線２のごく短い長さにある電荷dｑを考えましょう。この電荷dｑは、dｑから導線１に下ろした垂線の足の部分から伸びる電場の影響しか受けていないものと考えられることになります。その力の大きさdｆは
dｆ＝dｑ・Ｅ[N]
で、導線１，導線２に対して垂直な方向です。
このdｆを長さ１[m]に渡って足し合わせれば、要求されている力を求めたことになります。ところで、dｆは導線２の任意の場所で全て同じ大きさで、互いに平行な向きでしたから、求める力Ｆは、単純なdｆの和になってしまいます。
かくして
Ｆ＝∫[q=0～Q2]Ｅ・dq=(Ｑ1/(2πε・a))・Ｑ2

No.1 回答者： strain1217 回答日時： 2011/11/27 20:43

無限長線上に電荷が一様に分布していれば

単位長の円筒の面積は半径に比例しますので
その中心線上の電荷からの電気力線密度は距離に反比例します、そこから計算できると思います
普通のテキストや演習問題にも載っています