soipon0さん
数学の積分の問題です 放物線 y=x^2上にx座標がそれぞれα,β(α<0<β)である点P,Qをとる。
P,Qにおける接線の交点をRとするとき,次の問いに答えよ。
(1)点Rの座標を求めよ。
(2)△PQRの面積をS1とし,直線PQと放物線y=x^2で囲まれた図形の面積をS2とするとき,S1:S2を求めよ。
という問題なのですが(2)のS1を求める時に△PQRをy軸に平行な直線で2つの三角形にわけて考えるとあるのですがわかりません
PQの中点をM[(α+β)/2,(α^2+β^2)/2]としてy軸に平行な直線MRができます。
模範回答は
S1=1/2(β-α)•MRで出るのですが
(β-α)がどこから出てきてどういう役割なのかわかりません
わかりやすい解答お願いします
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「PQの中点をMとしてy軸に平行な直線MRができます。
」と言うところで間違えていると思います。
なぜなら、線分PQの中点(M)は必ずしも点Rと同じX座標になるとは限りません。
⊿PQRの面積を求めるに当たって、ヒント(?)にあるように「y軸に平行な直線で2つの三角形にわけて考える」のなら、分け方は頂点RからY軸に平行な直線で分けることは明らかですね。
その直線が線分PQと交わる点をMとするだけのことです。
(繰り返しますが、この場合点MのX座標は点RのX座標と同じと言うだけでPQの中点X座標=(α+β)/2、とは限りません。)
こうして⊿PQRを二分すると、その左側(⊿PRM)の面積は底辺をMRとし、高さ(仮にh1)ですからh1・MR/2 です。同じように右側(⊿QMR)はh2・MR/2 です。
したがって、両者を加えると
S1=⊿PRM+⊿QMR=(h1+h2)・MR/2
ここで(h1+h2)という高さの和はすなわち(β-α)ですから
S1=(β-α)・MR/2
となります。
(β-α)とは⊿PQRの底辺をMRとした場合の高さを出しているのです。
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