数と式 計算問題の解き方・考え方

数学の問題を解く際、解く人間は天才ではないので、なんらかのとっかかりをもって解きにかかるのが常道だと思っています。
次の問題ついて、解法が全く思い当たらず、解き方を見ても納得がいかないのですが、どのように解き方を検討するのが正しいのでしょうか？

x^3+y^3+z^3=3　(1)
x+y+z=3　(2)
が成立するとき
(x+y)(y+z)(z+x)　(3)を求めよ

・私の考えた道筋
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1.未知数がx,y,zの3つで、与式がx,y,zに関する2つ。他に条件はなし。よって、x,y,zを個別に求めることはできない。(求まったとしても、各々の比まで)
2.与式も、求める式(3)も、対象式の形で成り立っている。そのため、基本対象式さえ分かってしまえば、値を簡単に求めることができる。
3.x,y,zに関する基本対象式は、x+y+z,xy+yz+zx,xyzの3つ。与式はたった2つだし、この3つはどうもうまく求まりそうにないな。最初の一つは分かってるから、どうにか(1)と(2)の変形で残り2つが判明すれば、求める式(3)を基本対象式に変形すれば何とかなりそうだぞ…
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→(1)を変形してから(2)を代入し、
xy+yz+zx=4の値を得ました。
　(この時点で、基本対象式の1つが判明して安堵すると同時に、残り一つが分からないため、与式展開がうまくいかない、という予感は抱いています。xyzが判明していません。)

恐る恐る(3)を変形すると、12-xyzというところまで変形できました。案の定、xyzが求まらず、答えを求めるには至りません！

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この問題の解法はどのようにするのか、と思い、解答を見てみると、
１：(1)(2)を変形して、3(xy+yz+xz)-xyz=8を得る
２：(3)に(2)を代入して変形し、3(xy+yz+xz)-xyzを得る
３：１の結果を２に代入し、解８を得る
とありました。

解答の方法は非常に直感的方法であり、ある種のひらめきがないと解けない方法の気がするのですが、問題を一瞥した時点でこの解法にたどりつくには、どのような予測・指針の立て方が考えられるのでしょうか。

((1)、(2)で基本対象式のうち２つまで求まりそうだ、となった時点で、(3)も対象式だから、(1)、(2)のいずれかと組み合わせることで、基本対象式になりそうだから、その値と、(1)、(2)による基本対象式が等しければよい…というのは、単純に式変形の結果の結果論であり、予測が困難な気がしています。(それとも、この程度の式変形は頭の中で一瞬でするのが常識なのでしょうか?　であれば、火星人のような人間しか解けない気がするのですが…))

是非、類似の問題(あるいは数学分野全体)に通じる考え方で、ご教授願います。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/25 07:39

>数学の問題を解く際、解く人間は天才ではないので、なんらかのとっかかりをもって解きにかかるのが

>常道だと思っています。
>次の問題ついて、解法が全く思い当たらず、解き方を見ても納得がいかないのですが、どのように解き
>方を検討するのが正しいのでしょうか？

>x^3+y^3+z^3=3　(1)
>x+y+z=3　(2)
>が成立するとき
>(x+y)(y+z)(z+x)　(3)を求めよ

>解答の方法は非常に直感的方法であり、ある種のひらめきがないと解けない方法の気がするのですが

直感的でもないと思います。解法は２つの公式を利用して解く形になっているし、条件の式から何の公式を利用すればいいか予測がつきます

最初は、公式ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）
を利用して、条件の式を代入していけば、
３－３ｘｙｚ＝３（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）
　　　　　　＝３（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）－３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）……（４）
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2が出てくるので、今度は、
公式（ｘ＋ｙ＋ｚ）^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）を利用して、条件を代入すると、
３^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）より、
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝９－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）　これを（４）に代入して
３－３ｘｙｚ＝３｛９－２（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）｝－３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）
９（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－３ｘｙｚ＝２７－３＝２４
３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－ｘｙｚ＝８

（２）よりｘ＋ｙ＝３－ｚ，ｙ＋ｚ＝３－ｘ，ｚ＋ｘ＝３－ｙ　として代入
(x+y)(y+z)(z+x)
＝（３－ｚ）（３－ｘ）（３－ｙ）
＝２７－９（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－ｘｙｚ　（２）を代入して
＝２７－９・３＋３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－ｘｙｚ
＝３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）－ｘｙｚ
＝８

特殊な問題というか難しい問題だと思いますが、公式をうまく利用した解き方なので、解法をたどって見るだけでもいい勉強になると思います。解けなかった問題ほど知識を増やすために解法を研究するべきです。今は自分では解けなくても、たくさん問題を解いて経験を積むことで、うまくひらめくようになると思います。
回答になっていなかったら、申し訳ありません。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2011/12/25 08:45

一見して直ぐに　ｘ＝ｙ＝ｚ＝１　は２つの式を満たすというのが分かります。

この時、予式の値は８になります。

もし解が１つしかないのであればこれが解です。

他に解は存在しないという事を示さないといけないようです。ちょっと手間です。

でもこれがヒントになりました。

ｘ＝１＋ｐ、ｙ＝１＋ｑ、ｚ＝１＋ｒ　とします。
・・・こういう風に置くことは全く一般的なことですから論理的な不都合はありません。

これを（１）（２）に代入します。

（２）に代入　　ｐ＋ｑ＋ｒ＝０　　（３）・・・項の数を減らすのに役にたちます。

（１）に代入
３＝(１＋ｐ)^3＋(１＋ｑ)^3＋(１＋ｒ)^3
　＝３＋３(ｐ＋ｑ＋ｒ)＋３(ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2)＋ｐ^3＋ｑ^3＋ｒ^3
０＝３(ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2)＋ｐ^3＋ｑ^3＋ｒ^3
　＝３(ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2)＋(ｐ＋ｑ＋ｒ)[ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2－ｐｑ－ｑｒ－ｒｐ]＋３ｐｑｒ
　＝３(ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2)＋３ｐｑｒ
(ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2)＋ｐｑｒ＝０　　（４）

予式＝(２＋ｐ＋ｑ)(２＋ｑ＋ｒ)(２＋ｒ＋ｐ)
　　＝(２－ｐ)(２－ｑ)(２－ｒ)
　　＝８－４（ｐ＋ｑ＋ｒ）＋２（ｐｑ＋ｐｒ＋ｒｐ）－ｐｑｒ
　　＝８＋２（ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ）＋(ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2)
　　＝８＋(ｐ＋ｑ＋ｒ)^2
　　＝８
　　（3つの変数のままでやるとみにくいかと思います。
　　　１文字消去して変形する方が楽でしょう。
　　　式（３）では定数が入って来ないので式がややこしくなりません。）

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/24 23:48

僕のヒラメキは

(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=?
を計算したら
(x+y)(y+z)(z+x)を展開した項が出てくるような気がするので
？の計算をしてみると

?=3(x+y)(y+z)(z+x)
と偶然なりました。
従って、
(1),(2)を代入すれば
3^3 -3=3(x+y)(y+z)(z+x)
これから(x+y)(y+z)(z+x)=8が求まりますね。

この回答への補足

なるほど。(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)の展開式をあらかじめ知っていれば、悩む必要はない、ということですね。
とある試験の問題なので、頻出公式を問う問題でもおかしくないと思います。

補足日時：2011/12/25 00:22