独占企業が利潤を最大にするときの生産量の計算

以下の問題の解答はあっていますか？

ある独占企業は２つの工場を持ち、それぞれの限界費用は
MC1＝３X1＋９
MC2＝３X2/８＋８１/8
（X1、X2はそれぞれの工場の生産量）
であるとする。
需要曲線が
P＝－３D/２＋３０
（P：価格、D：需要量）
であたえられるとすると、この独占企業が利潤を最大にするときの２つの工場の生産量の合計はいくらか。

R＝（－３X1/２＋３０）×X1＋（－３X2/２＋３０）×X2
　＝－３X1^2/２＋３０X1－３X2^2/２＋３０X2
*D＝Xとしてしまったのはあっていますか？

∂R/∂X1＝－３X1＋３０＝MC1＝３X1＋９
　　　　　　　　X1＝７/２

∂R/∂X2＝－３X2＋３０＝MC2＝３X2/８＋８１/8
　　　　　　　　X2＝５３/９

X1＋X2＝１６９/１８

割り切れなくなってしまったのですがこの解であってますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： statecollege 回答日時： 2012/01/13 06:51

ANo1さんの答えも少し混乱しているようです。

Rは収入(関数）ですから、

　　　　R = PX = [(-3/2)X + 30]X = [(-3/2)(X1+X2) + 30](X1+ X2)

よって利潤(関数）をπと書くと

　　　　π= R - C1 -C2 = [(-3/2)X + 30]X - C1 -C2 = [(-3/2)(X1+X2) + 30](X1+ X2) - C1 -C2

となる。（ANo1さんはRを利潤関数として記号が質問者と違っているだけでなく、C1、C2を差し引くのではなく、加えてしまっている。）πをｘ１で偏微分すると
　　　
　　　∂π/∂X1 = ∂R/∂X1 - ∂C1/∂X1 = MR - MC1 =[ -3(X1 + X2) + 30] -[3X1 + 9]

となる。πをX2で微分した∂π/∂X2についても同様に計算できる。なお、限界収入MRは
　　　
　　　MR = ∂R/∂X1　=　∂R/∂X2　=　ｄR/dX　＝　-3(X1+X2) + 30

となるので確かめてください。利潤最大化生産量X1とX2は

　　　∂π/∂X1 = 0
　　　∂π/∂X2 = 0

を連立させて解くことによって得られる。あるいは同じことだが、
　　　
　　　MR = MC1 = MC2

を解けばよい。　　

質問者の「補足質問」で修正した答えは記号が若干混乱していますが、合っているようです。

　　
　　　

この回答へのお礼

No1さんの回答を見て、少し変だと思いながらも勝手に解釈してしまっていましたが、正しく訂正していただきありがとうございました。
また、解答のチェックもいつも助かっています。
MR = ∂R/∂X1　=　∂R/∂X2　=　ｄR/dX　という部分は、解答の見直しとしてもぜひ使っていこうと思いました。　
本当にありがとうございます。

お礼日時：2012/01/14 22:30

No.3 回答者： statecollege 回答日時： 2012/01/14 18:06

・Ano2で、「答えは、記号は若干混乱しているけれど、合っているようです」と書きました。

この点を説明しておきましょう。あなたは「補足質問」の中で答えを次のように訂正しました。

∂R/∂X1＝－３/２（２X1＋２X2）＋３０＝－３X1－３X2＋３０＝MC1＝３X1＋９

この書き方で問題なのは、方程式と恒等式を区別していないこと。MC1の前までは、限界収入MR1（＝∂R/∂X1）表わす（恒等）式で、MC1以降は限界費用を表わす（恒等）式で、これら２つはまったく別の式ですが、MC１の前の等号はこれら別の式が利潤最大化生産量で相等しくなることを示す方程式を示す等号です。これらを区別しないで書くことは混乱のもとです。一番左の式と一番右の式から、これらは等しいからといって、

　　　∂R/∂X1　=　３X1 + 9

と書いたらおかしいでしょう！

・これと関係しますが、この問題とは別の問題で利潤式微分して０とおくことと、MR＝MCという利潤最大化の公式（一階の条件）が同値だということをしらなかったと言っていますが、どうしてそうなのか理解しておきましょう。いま、収入をR、(総）費用をCと書くと定義によって利潤πは
　　　π = R - C
となる。利潤最大化するためにはこれを微分して０とおけばよいから

　0 =dπ/dq = dR/dq - dC/dq = MR - MC

すなわち、
ｄπ/ｄｑ = 0　⇔ MR = MC
となる。利潤を生産量で微分して０とおくことと限界収入=限界費用とおくことはまったく同等であるのです。（数学的には同値であるという）。

この回答へのお礼

確かに言われてみると限界収入MR1を表わす恒等式と限界費用を表わす恒等式をイコールとしてしまうと変でした。混乱を招かないためにも気をつけます。
また、利潤を微分して０とおくことと、MR＝MCが同値であるということの証明をしていただき、より理解が深まったように思います。
何回も丁寧な回答をして下さり、とても助かりました。ありがとうございました。
また何かあった場合はよろしくお願いします。

お礼日時：2012/01/14 22:38

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2012/01/11 21:46

全部答えるとルール違反なので概略だけです。

> この解であってますか？

利潤関数Rが間違っています。
価格Pは共通なので、X=x1+x2とおくと
　P = -3/2 X +30
となり、利潤関数は
　R = (-3/2 X +30)X + C1 + C2
とおけます。両辺を偏微分すれば
　∂R/∂X1 = -3/2 X1 +30 -3/2 (X1+X2) + (3 X1 + 9)
となります。
あとはX2についても同様に計算して連立方程式を解けば答えが出ます。

この回答への補足

∂R/∂X1＝－３/２（２X1＋２X2）＋３０＝－３X1－３X2＋３０＝MC1＝３X1＋９
　　　　　X2＝７－２X1・・・(1)
∂R/∂X2＝－３X1－３X2＋３０＝MC2＝３X2/８＋８１/８
　　　　　８X1＋９X2＝５３・・・(2)
(2)に(1)を代入して、X1＝１、X2＝５
よって生産量の合計はX1＋X2＝６
でよいでしょうか？

補足日時：2012/01/12 15:44

この回答へのお礼

回答内容が少し間違っていたようでしたが、X＝X1＋X2とおくというのが参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/14 22:25