留数定理を用いた計算について

f(z)=1/zとし、0.5+0iを中心とした半径１の円を反時計回りに一周積分したいのですが、
z=0.5+exp(iθ)、dz=i*exp(iθ)dθ
とおいて置換積分すると
∫1/z dz
=∫(i*exp(iθ))/(0.5+exp(iθ))dθ
=[ln(0.5+exp(iθ)]
=ln(0.5+exp(2πi))-ln(0.5+exp(0i))
=0
となって０になってしまうんですが、f(z)には０＋０iに特異点があるので
留数定理より一周積分した答えは2πiになるはずだと思うので上記の計算結果が
なぜこうなるのか理解できません。
自分の何が間違っているのか教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/21 18:46

積分路C:|z-(1/2)|=1 の中の1/zの一位の極である孤立特異点は　z=0 のみ存在。

留数Res(1/z,z=0)=lim(z→0) (1/z)z=1
留数定理より
　I=∫[C] 1/z dz
　 =2πiRes(1/z,z=0)
　 =2πi

この回答へのお礼

ありがとうございます。
留数定理で２πiになるのはわかるのですが
自分で計算すると０になってしまうのがよくわかりません。

お礼日時：2012/01/21 23:45

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/01/21 20:32

貴方の式で、=0 の一行前に出てくる ln は、複素対数関数です。

複素対数は、ln z = ∫[u=1からzまで](1/u)du で定義される関数ですが、
この右辺の積分は、u が 1 から z まで移動する経路に依存し、
z の値だけでは、値がひとつに決まりません。

ひとつの z に対して ln z が取りえる値は、
(ある複素数)+(2πi)(任意の整数) という形をしています。
式中ふたつの ln に、この不定部分がついてくるために、
最終行は、=0 ではなく、=0+(2πi)(ある整数) となるのです。
貴方の計算は、勝手に (ある整数)=0 としてしまっていますが、
(ある整数)=1 が正解だったという訳です。

この回答へのお礼

なるほど！
lnZという複素関数にはどうあがいてもZにどんな値を入れても２πiNという
不定の数が入ってしまうのにそれを無視していたからおかしくなっていたんですね。
よくわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/21 23:54