No.2ベストアンサー
- 回答日時:
問題点は、
>3u^3+9u^2+2(a+3)u+2a=0 かつ 3u^2+6u+2a<0
>前者を満たすようなuはaによらず存在する
「前者」の左辺=f(u)とします。
質問では、端折ってますが、そこで言いたいのは、
f(u)は、uの3次関数だから、係数によらず、
どこかでf(u)=0になる、という意味ですよね?
それ自体は、全くその通りです。
ただし、前者単独の話であれば…
この場合、後者の不等式も満たさないとならず、
その範囲内で、本当にf(u)=0になれるのか、を、
チェックしないと、議論は不十分です。
3u^2 + 6u + 2a < 0 を満たすuが存在するのは、
a<3/2のとき、ここは全く問題がないので、
先へ進むと、そのときの、uのとりうる値の範囲は、
-1 - √(1-2a/3) < u < -1 + √(1-2a/3)
になります。ここで…
f(-1 - √(1-2a/3)) と f(-1 + √(1-2a/3)) が
異符号であることが言えれば、中間値の定理から、
この範囲内に、f(u)=0となるuがあることが言えます。
そこをチェックしてみてください。
ついでですが、そのときに、
f(u)=3(u+1)^3 + (2a-7)(u+1) + 4と、
(u+1)の式に変形しておくと、計算は楽です。
ご回答ありがとうございます
論理に自信がない理由がはっきりしました
>f(-1 - √(1-2a/3)) と f(-1 + √(1-2a/3)) が
異符号であることが言えれば、中間値の定理から、
この範囲内に、f(u)=0となるuがあることが言えます。
異符号であれば確かに中間値の定理からそれは言えますね
ですが3次関数の場合同符号でもその範囲で交わる可能性が残るので
やはり少々めんどくさくもなりそうです
とても参考になりました
お二方をベストアンサーに選びたい気持ちもあるのですがそういうわけにも
行かないので、より問題の核心がわかったNo2様の方をベストアンサーに
選ばせていただきたいと思います
本当にありがとうございました
No.1
- 回答日時:
答えは 偶然合ってるが、途中の推論は全く駄目。
肝心なところを誤魔化している。>前者を満たすようなuはaによらず存在する
これが 何故いえるのか?
3x^3+9x^2+2(a+3)x+2a=0 ‥‥(1)、 3x^2+6x+2a<0 ‥‥(2)
(1)より 2a(x+1)=-3x^3-9x^2-6x ‥‥(3)となる。
x+1=0の時 0=0から常に成立。
x+1≠0の時 (3)を(2)に代入すると、(x+1)<0だから、x+1<0の条件で、3x^2+6x+2a<0 ‥‥(2) が常にも成立すると良い。2a<-3(x+1)^2+3 より 0<3(x+1)^2<3-2a つまり 0<3-2a。
ご回答ありがとうございます
少し論理に自信がありませんでしたが、やはり間違っていましたか
>前者を満たすようなuはaによらず存在する
これについては3次関数はかならずx軸と交わるという意味で使っています
ですがNo2様の仰るとおり、それが3x^2+6x+2a<0をみたすuの範囲に入っているかは
不明ですね
とても参考になりました
ありがとうございます
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