中学数学の図形問題

問題
四角形ABCDは円Oに内接しています。
四角形ABCDと中心Oによって凸型五角形ABCODとなり、
∠COD＝160°です。
∠BAC＝20°のとき、BC：CDを求めなさい。

中学の範囲で解かなくてはなりませんが、できそうでできません。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2012/03/19 10:03

計算して見たところ

BC/CD = sin20°/sin80° = 1/(1+2cos20°) =0.3472....であって、
cos20°は超越数[1]なので、中学数学だと無理だと思います。

[1] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A% …

この回答へのお礼

ご考察ありがとうございます。
COの延長と円との交点へBから直線をひいて直角三角形の相似を作り、
相似比2：1から　BC/CD＝2/(4+√3)＝0.3489…となったのですが、
相似比は作図によって導いたもので証明はできませんでした。
近い値でしたがやはり違っていたのですね。
おそらく問題を持ってきた中学生の書き写しミスだろうと思いますので、
確認してもらいます。

お礼日時：2012/03/19 18:28

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2012/03/18 22:51

＃２です。

自分で書いておいて何ですが、間違っているね。

No.2 回答者： at9_am 回答日時： 2012/03/18 22:49

なんか違うような気もしなくもないけれども、BC:CD=1:(√5/2-1)かな？

間違っていたら、以下は無視してください。

∠BAC=20°から∠BDC=20°（円周角）。
また∠BOC=40°（中心角）より∠DOB=160°。
よって二辺狭角相等より△OCD≡△OBD
△OBCはOB=OCとなる二等辺三角形だから∠OBC=∠OCB=70°
△OCDはOC=ODとなる二等辺三角形だから∠OCD=∠OBD=10°
以上から△DBCはBD=CD、頂角∠BDC=20°の二等辺三角形であることが分かる。

CD上にBC=BPとなる点Pをとると、△BCPは∠CBP=20°の二等辺三角形となり△BCP∽△DBCである。
CD上に∠DBQ=20°となる点Qをとると、△QDBは二等辺三角形からQD=QB
ここで、∠PQB=∠PBQ=40°よりPQ=PB=BC=DQがわかる。

以上からCP=x、BC=1とおくと
CD = 2 + x
と書けるから、△BCP∽△DBCより
BC : CD = CP : BC
1 : (2+x) = x : 1
これを解く。

この回答へのお礼

考えていただき、ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/19 18:34

No.1 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2012/03/18 18:07

線分BCやCDの計算にはsin20°が出てきてしまうので、中学校の知識だけとなると、普通の方法では不可能に思えるのですが…。

何か私の中に勘違いがあるでしょうか？

孤BCとCDの比なら計算できます。中心角は円周角の倍なので、∠BOC=20°×2=40°。孤の長さは中心角の大きさに比例するので、BC⌒:CD⌒=40°:160°=1:4ですね。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
某高校の入学準備テキストの問題らしいのですが、弧BC：弧CDではなく、BC：CDとなっているのです。
この条件では中学範囲では無理ということでしょうか。

補足日時：2012/03/18 22:25

この回答へのお礼

問題が違っていたかもしれません。
考えていただき、ありがとうございました。

お礼日時：2012/03/19 18:33