数学の問題 教えてください

初めて投稿させていただきます。
下記の数学の問題が分からず教えてください

a=√(3＋2√2) , b=√(3-2√2) のとき　(a+b)^2 を求めよ

という問題で

解答が a=√2+1 b=√2-1
より a+b=2√2
(a+b)^2=8

となっているのですが
何故、a=√2+1 b=√2-1となるのか分かりません。
解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： uckazuki 回答日時： 2012/03/21 11:46

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-t …

こちらのサイトに二重根号の外し方についてわかりやすく乗っています。ぜひ参考に。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。このような問題には解き方があったのですね。参考させていただいたサイトの説明とても分かりやすかったです。

お礼日時：2012/03/21 23:55

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/03/21 09:53

2重根号を外すのが、一般的な方法ではある。

しかし、この問題に限れば、その必要はない。

Ｐ＝(a+b)^2＝(a＾2+b＾2)+2ab。
a＾2+b＾2＝(3＋2√2)＋(3-2√2)＝6.　ab＝(√(3＋2√2))*√(3-2√2)＝9-8＝1.
よって、Ｐ＝(a+b)^2＝(a＾2+b＾2)+2ab＝8.

この回答へのお礼

ありがとうございます。たいへんよく分かりました。通常の解法でも解けたのですね。

お礼日時：2012/03/21 23:49

No.3 回答者： hitomura 回答日時： 2012/03/21 07:18

a=α+β√2 と書けると仮定して、これを2乗すると

　a^2=α^2+2β^2+2αβ√2
となりますが、a=√(3＋2√2)ですから
　α^2+2β^2+2αβ√2=3＋2√2
となり、
　α^2+2β^2=3, 2αβ√2=2√2 すなわち αβ=1
となります。αβ=1ですからα≠0で、β=1/αと書けます。これを上の前のほうの式に代入して、
　α^2+2(1/α)^2=3 すなわち α^2-3+2(1/α)^2=0
となり、両辺にα^2を掛けると
　(α^2)^2-3(α^2)+2=0
という、(α^2)に対しての2次方程式になります。これを解くと
　(α^2)=1, 2 すなわち α=±1, ±√2
となりますが、負値の解は αβ=1 からβも負にするためaが負になってしまいます。これは√の定義に反するため、正値の解のみ考えます。
α=1のとき、β=1/1=1, a=1+√2
α=√2のとき、β=1/√2, a=√2+√2/√2=√2+1
となり、どちらにしてもa=√2+1であるという結論になります。

bのほうも同じ手順で√2-1が導けますが、……ごめんなさい、bのほうが後半の場合わけが面倒でした（「負値の解は……負になってしまいます」の部分が成り立たないため4パターンすべてを確認する必要がある）。

この回答へのお礼

詳細な説明ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/21 23:57

No.2 回答者： noname#157574 回答日時： 2012/03/21 07:05

二重根号の計算

√(m+n±2√(mn))=√m±√n　m>n，複号同順
による。

この回答へのお礼

とてもよく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2012/03/21 23:52

No.1 回答者： Willyt 回答日時： 2012/03/21 06:40

a=√(3＋2√2)=√(2+2√2+1)=√(√2+1)^2=√2+1

b=√(3-2√2)=√(2-2√2+1)=√(√2-1)^2=√2-1

です。

この回答へのお礼

途中経過式を書いてくれてありがとうございます。どのようにして解くのかよく分かりました。

お礼日時：2012/03/21 23:51