糸の張力の問題

図のように糸で質量mのおもりをつり下げてθだけ傾け、おもりを放した瞬間の
糸の張力を求めよ、という問題です。

糸の張力をTとすると、張力の鉛直成分は上向きにTcosθになり、おもりは下向きにmgの
力を受けているので、Tcosθ=mgより、T=mg/cosθ　とするのは間違っているということですが
どうしてでしょうか？
おもりを放した瞬間は加速度が0なのでつり合いの式が成り立つような気がするのですが。

正解は重力を糸の方向に分解してT＝mgcosθとなっています。

以上よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2012/08/18 16:55

>加速度が０

　
これは間違いです。
　
まだ動いていませんから、
　速度＝０
つまり
　初速度＝０
は成り立ちますが、加速度は０ではありません。もし、加速度０なら動き出すことがないはずですが、物体は明らかに動き出すのですから、加速度は０ではありえません。
　
　
物体は、糸がピンと張ったままの状態で動くはずです。
そこで、物体の運動を、糸の方向の運動と、糸に直角な方向の運動とに分けて考えてみます。
まず、物体に働いている合力をＦとし、Ｆも、糸に平行な成分（Ｆ１とします）と、糸に直交する成分（Ｆ2とします）に分けて考えます。
　
糸の方向の運動をイメージしましょう。
　糸はピンと張ったままです。
もし、Ｆ1が０でないなら、Ｆ1の方向と同じ向きの加速度（αとします）が生じるはずで、初速度０でしたから、物体は加速度αの方向、つまりＦ1の方向に動き出すはずです。これは、（Ｆ1が糸の方向ですから）、糸が伸びるか縮んで弛むかするはずだということを意味します。これはしかし、糸は伸びも縮みもしないということと矛盾します。つまり、仮定（「もし、Ｆ1が０でないなら」）が間違っていたことになります。ですから
　Ｆ1＝０
なのです。
　
こうして、合力Ｆは、実はＦ2そのもの、つまり、"糸に直交する方向を向いている力"であるはずだ、ということになります。
　
合力Ｆは、
　糸の張力Ｔと物体に働く重力ｍｇとの合力
で、
　天井と糸との交点を中心とし、糸の長さを半径とする円周の"接線方向の向き"を持っている
はずだということです。
　
図で示すと、添付図のような関係になっているのです。
　ｍｇ・cosθ＝Ｔ
　Ｆ＝ｍｇ・sinθ
です。
　
（補足）
物体が動き出す瞬間については、以上で考察は終わりですが、物体の速度ｖが０でない状態で動いているときは、
　Ｔ＝ｍｇ・cosφ　　φは糸の鉛直方向とのなす角です。
は成り立ちませんから注意を要します（角度がθと違うからではないですよ）。
　Ｔ＝ｍｇ・cosθ
が成り立つのは、あくまでも、"速度＝０"のとき、つまり、振り子が最も振れた瞬間だけです。

この回答へのお礼

図まで描いていただいて感激しております。ありがとうございました。
確かに加速度が0ではないですね。よくわかりました。
糸の長さをLとすると、中心方向の運動方程式は
m(v^2/L)=T-mgcosφ　
ですからv=0のときだけT=mgcosφが成り立つということですね。
接線方向の運動方程式は
ma=mgsinφとなり、a=gsinφ
つまりφ≠0なら加速度a≠0となり、鉛直方向の加速度も0ではないことになります。

速度が0ならつい加速度も0だと思ってしまいがちですが、この問題はかなり
盲点を突いているなと思いました。

とにかくありがとうございました。

お礼日時：2012/08/18 17:58

No.1 回答者： kamobedanjoh 回答日時： 2012/08/18 13:35

おもりを水平方向に引いている、おもりを離した瞬間も、離す寸前も、力のバランスはほぼ同じです。

何故、水平方向に引いている力を考慮しないのですか。
おもりを離す直前の力のバランスを計算しましょう。

この回答へのお礼

水平方向にはTsinθの力がはたらくと思います。
これが何故関係があるのでしょうか？

お礼日時：2012/08/18 15:49