物理 糸で繋がれた2つの重りの位置エネルギー

図のように、水平で滑らかな板に小穴をあけ、質量の無視できる長さ l の糸を途中まで通す。垂れ下がった糸の先端には、質量 M のおもり A を、もう一方の糸の先端には、質量 m のおもり B を取り付け板の上に置く。おもり A は鉛直方向のみ、おもり B は板上の水平面内のみを運動し、糸やおもりが受ける空気抵抗や摩擦力は無視できるとする。小穴を原点とし、板上面内が xy 面、鉛直方向を z 軸とする座標系を用いて、 以下の問いに答えよ。ここで、板上のおもりの長さを r とし、重力加速度を g とする。

糸に対して垂直方向におもり B を速さ v0 ではじきながら、手を離した際の運動について考える。

連結系の位置エネルギーの和が Mgr になることを示せ。ここで、位置エネルギーは、z = 0 (おもりが板上) のときに 0 とする。


この問題がわかりません。解き方を教えてください。
どうかよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 皆さまありがとうございます。
  参考までに、本問の解答として配布されたものを添付します。
  問題文は、原文通りです。

  
    補足日時：2020/08/07 09:54

No.6 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/07 14:21

解答では z=-lから積分してるから

z=0が基準という問題の条件とは異なります。

それと、Tは保存力では無いので
ポテンシャルエネルギーの計算に入れては
いけません。
#和がOになるから計算に影響無いけど間違い

とんでも解答ですね。

この回答へのお礼

いろいろと不備の多い解答だったのですね…。
ありがとうございました。お世話になりました。

お礼日時：2020/08/07 17:50

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2020/08/07 15:20

だれかが指摘しているように

位置エネルギーの計算に保存力でない糸の張力Tを入れるのは誤りです。
強いてその解答のように計算したければ
UA、UBの積分計算からTの積分部分を除くべき。
つまりUA＝Mｇｒ、UB＝0としてUA＋UB＝Mｇｒ
と結論すべきです。

この回答へのお礼

「位置エネルギーの計算に保存力でない糸の張力Tを入れるのは誤りです。」とはその通りですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2020/08/07 17:46

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/07 10:16

No.1&3 です。

問題文（質問分）では「位置エネルギー」、解答に書いてあるのは「ポテンシャルエネルギー」ですね。
「ポテンシャルエネルギー」では「糸の張力」も考慮しています。

問題文と解答とが対応していないと思います。

この回答へのお礼

お世話になっております。
位置エネルギーとポテンシャルエネルギーは同義ではないでしょうか。

お礼日時：2020/08/07 17:44

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/08/06 15:33

何かへんですよね。

重力の位置エネルギーの基準がz=0なら
連結系の位置エネルギーの和が正になるはずがないのは明々白々。

この回答へのお礼

tknakamuri様、回答ありがとうございます。
その通りですね。0または負になるはずですね…。

問題の解答が誤っているような気がしてきました。

お礼日時：2020/08/07 10:03

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/06 11:37

No.1 です。

問題の中身が、#1 に書いたように
・おもりＢに初速度 v0 を与える前には、おもりＡは z=0 の位置に手で押さえていた。つまり r=L であった。
・おもりＢに初速度 v0 を与えるた瞬間に、おもりＡを抑えていた手を放し、糸に張力を発生させる。
という条件で考えれば、おもりＢが糸の長さ r で遠心力とおもりＡの重力がつり合ったとすれば、そのときのおもりＡの降下した長さは
　L - r　　　①
です。

おもりＢは平面上にあるので、重力による位置エネルギーは Epb = 0、おもりＡは「位置エネルギーの基準点 z=0」から①だけ低下しているので、その位置エネルギーは
　Epa = -Mg(L - r) = Mgr - MgL
になります。

従って、系全体の位置エネルギーの和は
　Ep = Epa + Epb = Mgr - MgL
になると思いますけどね。

もし、位置エネルギーの基準点を z=0 ではなく z=L 、つまりおもりＢが z=0 で穴の位置にあるときだとすれば、おもりＢが糸の長さ r で等速円運動しているときには
・おもりＢは平面上にあるので、その位置エネルギーは Epb' = mgL
・おもりＡは「 z=L の基準点」から r だけ上昇しているので、その位置エネルギーは Epa' = Mgr
なので、系全体の位置エネルギーの和は
　Ep' = Epa' + Epb' = mgL + Mgr
になります。

従って、「位置エネルギーは、z = 0 (おもりが板上) のときに 0 とする」のおもりが「おもりＡ」であっても「おもりＢ」であっても、「連結系の位置エネルギーの和が Mgr になる」ことはないと思いますが・・・。

いずれにせよ、正しい問題文を知りたいです。

この回答へのお礼

yhr2様、回答ありがとうございます。
問題文は、原文通りなのです…。確かに、不十分に思えます。

「手を離した」のはおもりBからだと思います。はじいた瞬間におもりBが手から離れたことを、（おもりBから）手を離した、と表現していると解釈しています。
「おもりが板上」の「おもり」はAとBの両方を指していると思います。連結系の位置エネルギーを求める際AとBそれぞれの位置エネルギーを求めて和をとるので、両方に対して基準が必要なのではないかと思いました。

問題の解答が誤っているような気がしてきました。

お礼日時：2020/08/07 10:01

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/08/06 11:08

ほんというと

2つの位置エネルギーの和は
Mｇ(ｒ- l )＝Mｇｒ-Mｇｌとかくところ。
ただ-Mｇｌは運動の間定数だから、省略しても後の問題を考える上で影響ない。
だからMｇｒでもよい。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/06 09:59

＞糸に対して垂直方向におもり B を速さ v0 ではじきながら、手を離した際の運動について考える。

何かを解くのではなく、運動を考えればよいのですよ。
おもりＢの遠心力がＡの重力 Mg よりも大きければ r が大きくなる方向に運動するし、小さければ r が小さくなる方向に運動する。
つり合えば r が一定の定速円運動をする。

問題文で、不明点があります。原文通りですか？

＞糸に対して垂直方向におもり B を速さ v0 ではじきながら、手を離した

このときの r の条件はないのですか？　初期状態は r=L ですか？
「手を離した」のは「どこから」ですか？　おもりＡからですか？　つまりおもりＢに初速を与えた瞬間に糸に張力を与えたということ。

＞ここで、位置エネルギーは、z = 0 (おもりが板上) のときに 0 とする。

ここでいう「おもりが板上」の「おもり」はＡのことですか、それともＢのこと？
上の質問の答えが「初期条件 r=L」で、そのときに「Ａは z=0」なのでそれを位置エネルギーの基本にせよということかな？