微分方程式がわかりません

xy'logx=xy と xy'logx=ylogy
という２つの微分方程式の解はどのように求めればいいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/09/16 23:16

微分方程式がわかりません

xy'logx=xy
y'=y/logx
dy/y=dx/logx
logy=li(x)+C' ・・・※初頭関数で表せない対数関数li(x)
y=Ce^(li(x))

xy'logx=ylogy
dy/ylogy=dx/xlogx
log|logy|=log|logx|+C
logy=C'logx
y=C"x
元の式に代入すると、C"=0だとわかるから、y=x

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/17 00:50

[1]xy'log(x)=xy

対数の真数条件より　x>0
両辺をx(>0)で割ると
　y'log(x)=y　...(1)
y=0のとき　y'=0より　(1)は常に成立。∴y=0　...(☆)

y≠0のとき
　y'/y=1/log(x)
y'=dy/dxより
　dy/y=dx/log(x)
両辺を積分して
　∫dy/y=∫dx/log(x)
積分∫dx/log(x)は対数積分と呼ばれ初等関数では表せません。
大学数学レベルでなら特殊関数の対数積分関数li(x)で定義され
　log|y|=li(x)+C　(x>0,y≠0)
書き換えれば
　y>0のとき y=C1e^(li(x)) ...(★)
　y<0のとき y=-C1e^(li(x)) ...(◆)
C,C1=e^Cは積分定数です。

(☆)と(★),(◆)をあわせたものが(1)の答えになります。

[2]xy'log(x)=ylog(y)
対数の真数条件より　x>0, y>0
y'=dy/dx より
x(dy/dx)log(x)=ylog(y)　...(1)
log(x)≠0,log(y)≠0　すなわち　x≠1,y≠1のとき
　dy/(ylog(y))=dx/(xlog(x))
　log(|log(y)|)=log(|log(x)|)+C (x≠1,y≠1)...(▼)
y=1のとき y'=0で(1)は x>0で成立。　...(●)
x=1のとき y=1で(1)は 成立。...(■)

(▼),(●),(■)をあわせたものが答えになります。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2012/09/16 23:38

xy'logx=xy

以前にも同じ質問があって解答しましたが

そもそも両辺をxで割って

y'logx=y

であることを理解していますか。



xy'logx=ylogy　　　(1)

z=logyとおく

y=e^z

y'=z'e^z

(1)へ代入し整理すると

z'/z=1/xlogx

両辺を積分して

logz=logabs(logx)+c

abs(*)は*の絶対値

z=cabs(logx)=logy

y=x^c