微分方程式 教えてください (1+x^2)y''+xy'=4y

微分方程式 教えてください

(1+x^2)y''+xy'=4y

途中過程も含めて教えてください。

何卒宜しくお願い致します

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/31 23:48

y'を両辺にかけると

　(1+x²)(y'²/2)'+xy'²=4(y²/2)'・・・・①
ここで
　{(1+x²)(y'²/2)}'=2x(y'²/2)+(1+x²)(y'²/2)'=xy'²+(1+x²)(y'²/2)'
だから①は
　{(1+x²)(y'²/2)}'=4(y²/2)'
積分すると
　(1+x²)(y'²/2)=4(y²/2)+A → (1+x²)y'²=4(y²+A)
→ y'=±2√{(y²+A)/(1+x²)}
ここで、A → 4Aとした。

さらに、
　y²+A≠0・・・・・②
とすると
→ dy/√(y²+A)=±2dx/√(x²+1)

積分して
　log|y+√(y²+A)|=±2log|x+√(x²+1)|+B
ここで、±e^B → B とすると

→ {y+√(y²+A)}/(x+√(x²+1))^(±2)=B　(B≠0)
→ y+√(y²+A)=B(x+√(x²+1))^(±2)
→ √(y²+A)=B(x+√(x²+1))^(±2)}-y
両辺を二乗して
→ -2yB(x+√(x²+1))^(±2)+B²(x+√(x²+1))^(±4)=A
→ y=-(A/2B)(x+√(x²+1))^(∓2)+(B/2)(x+√(x²+1))^(±2)

B → 2B , A → -4AB として
　y=A(x+√(x²+1))^(∓2)+B(x+√(x²+1))^(±2) (B≠0)・・・③
が解となる。

また、②から y=Aを元の式に入れると
　y=0
をえるが、これも解となるから③と合わせて、A,Bを任意定数として
１、2項は対称だから
　y=A(x+√(x²+1))²+B/(x+√(x²+1))²
が一般解となる。