xy=0ならばx=0またはy=0 を証明したいのですが、どのように示せば良いのでしょうか？ 対偶を示

xy=0ならばx=0またはy=0
を証明したいのですが、どのように示せば良いのでしょうか？

対偶を示せば良いのかもしれませんが、示し方がいまいち分かりません…

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/25 22:05

x,y がどのような数なのか？ によりますね。

x,y の範囲が整数だとすれば、
証明は「整数」を定義する方法によって変わることになります。
範囲が実数や複素数だったとしても、事情は同様です。
例えば、x,y が2×2行列の値をとる変数だったりしたら、
反例がありますものね。

No.4 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/04/25 20:38

x0=0 ∧ 0y=0だったとしても、 xy=0ならばx=0またはy=0が成立するとは限りません。

実際、xyという演算が
x≧0 ∨ y≧0 ならば x×y
x<0 ∧ y<0 ならば 0
を返す演算だと定義すれば、x0=0 ∧ 0y=0をみたしますが、(-1)(-1)=0なので、xy=0だとしてもx=0またはy=0ではありません。

x≠0 ∧ y≠0 ならばxy≠0という条件が必要です。そして、これこそが「xy=0ならばx=0またはy=0」の対偶です。

通常の掛け算において「xy=0ならばx=0またはy=0 」が成立するのは、「x≠0 ∧ y≠0 ならばxy≠0」だからです。

No.3 回答者： 麻野なぎ 回答日時： 2021/04/25 19:22

xy=0 の両辺を、x,y のうち「ゼロでない」と仮定した方で割ればいいです。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2021/04/25 19:21

♪ハ〜イリ ハ〜イリ フレ ハ〜イリホ〜

なんてどうでしょうか。つまり

xy=0 で x≠0 y≠0

と仮定した場合、xyは絶対に0にはならないので証明したい命題が示される、と言う論法です。まあ結局は最初の方の解答と同じ内容ですが、書き方によってはこちらの方が証明っぽく見えるかもしれません。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/04/25 19:07

対偶なんて不要でしょう？

0の性質は、0･○=0、△･0=0なんだから・・・。
x･y=0なら、x=0またはy=0。

x=0なら、0の性質より0･y=0
y=0なら、0の性質よりx･0=0
∴xy=0ならばx=0またはy=0

対偶を使うなら
x≠0かつy≠0ならば、x･y≠0
対偶はxy=0ならばx=0またはy=0