【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。
【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在
①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。
【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
質問者は問題の意図を完全に理解していません。
問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。
Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。
ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2
質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。
x(yx)y=x^2y^2
この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。
No.2
- 回答日時:
実際のところ証明そのものは何も難しくないんだけど, 重要なのは
あなたが問題の文章について全く理解できていない
ことじゃないかね.
「可換群」の定義は書けるかな?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 部分群であることを示す問題を解いているときに疑問に思ったので質問です。 Gを乗法群、Hを空でないGの 5 2022/11/27 20:06
- 数学 単位元について 2 2022/09/11 22:56
- 数学 群の問題です。 2 2023/06/06 18:15
- 数学 代数学 環 1 2022/10/11 00:04
- 数学 環上の加群について 2 2022/07/15 20:42
- 化学 化学が得意な方に質問です。この問題の正解を教えてください。 問題1】LD50を説明する下の文について 2 2022/10/10 06:47
- 数学 代数学のこの問題がわからないので教えて頂きたいです。 具体的には「写像の合成に関して群になる」のとこ 3 2022/11/13 17:16
- 数学 X=x+y, Y=xyとする。点Q(X,Y)の存在する範囲を図示しなさい。 3 2022/06/21 21:38
- 数学 代数学 単位元 逆元 2 2022/10/11 15:43
- 宇宙科学・天文学・天気 銀河のハビタブルゾーンを確率的セルオートマトンという数値的にシミュレーションした結果、「群島」の様な 2 2023/06/06 23:10
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教えるわが家の防犯対策術!
ホームセキュリティのプロが、家庭の防犯対策を真剣に考える 2組のご夫婦へ実際の防犯対策術をご紹介!どうすれば家と家族を守れるのかを教えます!
-
大学の代数学の課題で困っています。
数学
-
代数学の質問です[準同型写像の証明]
数学
-
幾何学の問題が分かりません
数学
-
-
4
代数学の質問です[準同型定理]
数学
-
5
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
6
任意の置換は互換の積で表されることの証明
数学
-
7
【代数学】サイズが偶数の有限群Gについて、G内の位数2の元は奇数個であることを示せ
数学
-
8
【代数学】正三角形の二面対群D6の説明
数学
-
9
置換を互換の積で表す σ=(1234)とすると、 (1234)=(1 4)(1 3)(1 2) とな
数学
-
10
幾何学の問題です
数学
-
11
幾何学の問題です。 「2点A,Dが直線BCの同じ側にあって、角BDC=角BACならば四点A,B,C,
数学
-
12
線形代数です。 正方行列A,BがAB=BAであるとき、AとBは可換であるという。次の行列と可換な行列
数学
-
13
標準正規分布のモーメント母関数
数学
-
14
代数学の問題で困っています。人に聞いたり参考書を読んだりして解答をつくってみましたが、不安です。 以
大学・短大
-
15
幾何学の問題です。
数学
-
16
大学数学の代数の問題です。 ・Z/12Zの部分群をすべて求めよ どなたか解いて頂けますか?
数学
-
17
3次対称群S3が可解群であることはどのように示せば良いでしょうか?
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2
-
x^3+y^3+z^3
-
xy−x−y+1これの因数分解の仕方...
-
数Ⅰ「xとyについて降べきの順に...
-
x²+xy-4x-y+3 を因数分解して...
-
4x二乗-y二乗+2ax+ay の因数分...
-
xy=0ならばx=0またはy=0 を証明...
-
高校一年の数Ⅰに苦戦しています...
-
数学の因数分解です。⑴ x^4-18x...
-
因数分解
-
(3X+2y)(3X-2y) この式を...
-
高校 因数分解
-
数学の問題で A=6x²+5xy+y²+2x-...
-
x2+y2=(x+y)2-2xyこれはなんで...
-
微分方程式 線形 非線形
-
eの偏微分
-
因数分解です;
-
高1 数II x+y+z=−1、xy+yz+zx+...
-
とても急いでいます!
-
x³+x³+1-3xyを因数分解せよ。 ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2
-
x^3+y^3+z^3
-
千葉大学 整数問題 これまた難...
-
とても急いでいます!
-
acrobat8(standard)で図形を書...
-
「x^2/36+y^2/64=1となるとき...
-
数Ⅰ「xとyについて降べきの順に...
-
x²+xy-4x-y+3 を因数分解して...
-
数式で項のアルファベットの順...
-
xy−x−y+1これの因数分解の仕方...
-
x2+y2=(x+y)2-2xyこれはなんで...
-
代数イデアル
-
【代数学】可換群の証明
-
x-y=6,xy=-4のとき、x^2(xの...
-
x+y=5 xy=-3 のとき、x二乗-3xy...
-
高1 数II x+y+z=−1、xy+yz+zx+...
-
数学 文字式の「サイクリック順...
-
因数分解を教えてください。 x^...
-
Q(x+y, x^2+y^2)の存在する範囲...
-
x二乗-3xy+y二乗 この因数分解...
おすすめ情報