環上の加群について

環上の加群について基礎的な質問ですみません。
環R 上の左R-加群は、可換群(M, +) と作用R × M → Mの組でr,s∈R, x,y∈Mは任意として、
r(x+y)=rx+ry
(r+s)x=rx+sx
(rs)x=r(sx)
1Rx=x
(xのスカラーr倍は単に文字を併置してrxと記す）
を満たすものとしています。
(右R-加群は同様にRの元を右から掛けたもの)
この時左右の加群が一致するのはRが可換環の時であるとあるのですが、

そもそもRとMは同じである(またはM⊂R)とは限らないと思ってRが可換環の時だけでは左右一致しないと思うのですが、何か見落としてますかね…？

ご教授お願いしますm(_ _)m

質問者からの補足コメント

• 早速のご回答ありがとうございます！
  理解力が乏しくてすみません、、
  >>この右加群のスカラー倍を左から掛ける形に書き換えてみると、
  のところですが、もともと
  左R-加群は、作用R×M→M、(r,x)→rx
  右R-加群は、作用M×R→M、(x,r)→xr
  (ですよね？？)だから、
  仰っていた例えばr(x+y) = rx + ryは右加群では
  r∈M、x, y∈Rとしている事になると思うのですが、
  r∈Rをr∈M、x, y∈Mをx, y∈Rとして良いのかというところでまだつまずいています…

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/16 21:20

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/16 21:40

作用の演算記号を省略してしまうと、ややこしいのかな？

左R加群MでのRのMへの作用を *：R×M→M; (r,x)→r*x と書けば、
質問文中の左加群の公理は
r*(x+y) = r*x + r*y,
(r+s)*x = r*x + s*x,
(rs)*x = r*(s*x),　　　←[1-3]
1*x = x
となります。これにならって
右R加群MでのRのMへの作用を @：M×R→M; (x,r)→x@r と書けば、
No.1に書いた右加群の公理は
(x+y)@r = x@r + y@r,
x@(r+s) = x@r + x@s,
x@(rs) = (x@r)@s,　　　←[2-3]
x@1 = x
となります。前にも書いたように、左加群と右加群の区別で重要なのは
それらが満たす公理であって、字面上で作用を左から書くか右から書くか
ではないので、#：R×M→M; (r,x)→r#x=x@r で作用 # を定義してしまえば、
r#(x+y) = r#x + r#y,
(r+s)#x = r#x + s#x,
(rs)#x = s#(r#x),　　　←[3-3]
1#x = x
となります。作用 # によるR加群は、左加群ではなく右加群です。
左加群と右加群の違いは、[1-3] と [3-3] の公理の違いだけです。

で、Rが可換環であれば、[1-3] と [3-3] が同じになってしまうから
左R加群と右R加群は同じものになるということです。

この回答へのお礼

理解しました！すごく分かりやすくて助かりましたm(_ _)m
ありがとうございます！！

お礼日時：2022/07/16 22:21

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/15 20:59

左加群と右加群の違いは、式の字面上

スカラー倍を左に書くか右に書くかじゃないんですよ。
右加群を質問文中の左加群にならって書いてみると
(x+y)r = xr + yr
x(r+s) = xr + xs
x(rs) = (xr)s
x1 = x
ですね。
この右加群のスカラー倍を左から掛ける形に書き換えてみると、
r(x+y) = rx + ry
(r+s)x = rx + sx
(rs)x = s(rx)
1x = x
となります。
質問文中の左加群との違いは、３本目の式ですね？
で、R が可換なときには (rs)x = (sr)x なので
左加群と右加群が一致するのです。