【代数学】サイズが偶数の有限群Gについて、G内の位数2の元は奇数個であることを示せ

【問題】
サイズが偶数の有限群Gについて、G内の位数2の元は奇数個であることを示せ。

【解答】
単位元と位数2の元以外では、Gの元xとその逆元x^-1は対を形成する。
Gのサイズが偶数であるため、Gの元xとその逆元x^-1が偶数になることから、単位元と位数2の元の合計も偶数である。
よって、位数2の元の数は、単位元の個数1を引くと、奇数個になる。

以上で、問題の解答としては正解でしょうか。
もう少し数学的に証明できるならば、ご教授いただけると幸いです。

No.7 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2015/11/06 23:38

ごめん。

ミスった。

単位元と位数2の元以外では、元xとその逆元x^-1とで余ることなく対をつくることができるので、
単位元と位数2の元以外は偶数個ある。
Gのサイズが偶数であることから、単位元と位数2の元の合計も偶数個である。
よって、その中から単位元を取り除いて、位数2の元は奇数個であることがわかる。


最初の文がうまく書けない。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。
大変助かりました。

お礼日時：2015/11/07 14:08

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2015/11/06 23:31

No.4 さんのご指摘を受けて、書き直してみます。

単位元と位数2の元以外では、元xとその逆元x^-1とで余ることなく対をつくることができる。
よって、単位元と位数2の元以外の元をあわせると偶数個ある。
Gのサイズが偶数であることから、単位元と位数2の元の合計も偶数個である。
よって、その中から単位元を取り除いて、位数2の元は奇数個であることがわかる。

どうですか？

No.5 回答者： hiccup 回答日時： 2015/11/06 23:00

No.2 です。

No.2 の書き方が悪かったようです。質問者さんに向けて書いているのですが、何かがおかしな人が No.1 さんを批難しているように読めるかもしれません。不快な思いをさせてしまったのでしたら、申し訳ありません。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/11/06 13:53

最低限突っ込んでおくべきところは

・「Gの元xとその逆元x^-1は対を形成する」
・「Gの元xとその逆元x^-1が偶数になる」
の 2か所かな.

前者は #1 でも指摘されているけど, x と x^-1 が異なるということを一言触れておかないとまずい. あと, 「対を形成する」ももっときちんというべきかもしれない. 「形成する」が「そのような対として考える (ほかの対は考えない)」と「そのような対ができる (ほかの対は作れない)」のどちらの意味なのかちょっと怪しいところがあるし, x に対して (x, x^-1) という対と (x^-1, x) という対を同一視するかどうかも微妙だから.

後者はもっと単純で, この書き方だと「G の元 x」や「逆元 x^-1」が偶数であると主張しているようにしか読めない, というだけ. G の元が整数だとはどこにも書いてないよね.

No.3 回答者： deeton 回答日時： 2015/11/06 01:40

有限群 G の元 x の位数が 3 以上で x の逆元 x^-1 の位数が 2 になることは実際にはないが、そのことをきちんとコメントして（そして、できれば証明して）おかなければ、答案の書き方としては不十分だ。

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2015/11/05 23:57

正解じゃないかと...

(x^(-1))^(-1) = x と、位数２の元なら x^(-1) = x を見落としてないですか？

異なるものどうしでペアがつくれるものとそうでないものがあって、そうでないものは全部で...みたいなことが書いてあるので。

No.1 回答者： deeton 回答日時： 2015/11/05 22:42

偶数位数の有限群 G は位数 2 の元を奇数個もつ、ということでしょうか。

G の元 x とその逆元 x^-1 は対を形成するというのは、つまり x と x^-1 は等しくないということですか。

以下のことは、証明できていますか。

単位元の一意性
逆元の一意性
有限群 G の元 x の位数が 3 以上なら x の逆元 x^-1 の位数も 3 以上である（この命題は、もう少し一般化したくなりますね）。

最初の 2 つは常識だとしても、最後の 1 つを示しておかないと減点したくなります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
本当に感謝しています。

お礼日時：2015/11/07 14:08