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前提は、
a(n)<a(n+1)<1
要するに「n とともに増大、1 を超えない」ですね。
>( a(n+1) - a(n) )^2 = 1/4 × ( a(n)-1 )^2 × ( a(n+1) - 1 )^2
これは恒等式じゃなさそうで、問題の条件か、なんかなのでしょう。
両辺とも二乗形なので、
a(n+1) - a(n) = ±(1/2)*{a(n)-1 }*{a(n+1) - 1 }
と開平できます。
ここで前記前提を勘案すれば、左辺は正値。
したがって右辺も正値となるよう、±の一方を選ばねばならず、
a(n+1) - a(n) = (1/2)*{a(n)-1 }*{a(n+1) - 1 } ( > 0 )
と変形しているのでしょう。
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