同相でないことを示す問です。

「実数１次元ユークリッド位相空間と実数２次元ユークリッド位相空間」が同相でないことを示せ。という問について教えてください。
方針として、二つの濃度を求めて、それらがイコールにならないことをいえばいいと考えました。実数１次元ユークリッド位相空間の濃度は、?ですが、実数２次元ユークリッド位相空間の濃度は、どのようにしてもとめるのでしょうか？
　よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2012/11/01 11:56

残念ながら、実数体をRと書くことにして、RとR^2は等濃（濃度は等しい）です。

つまり、R^2からRへの全単射gは存在するのですが（証明は適当な資料を参照してください）、ここでR^2からRへの全単射gは絶対に『連続でない』事を言えばよいです。

方針は、例えばRの閉区間I = [0,1]からR^2への写像hをh(t) = (cos(2πt), sin(2πt))で定めると（原点を中心にクルッと一周するような写像）、hは連続で、h(x) = h(y)かつx<yとなるのは明らかにx=0, y=1の時だけです。そこで、R^2からRへの連続な全単射gがあるものとし、g○h=jを考えると、jはI=[0,1]からRへの連続な写像で、またj(x) = j(y)かつx<yとなるのはx=0, y=1の時だけです。

ところで最大値の定理からj(I)は最大値及び最小値を持ちます。このうち少なくとも一方はj(0)とは違うのでその値をmとすると、j(0)とmの間の数を考えた時、中間値の定理からなんだか変な事になっている事を示せばよいです。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/11/01 14:46

一次元ユークリッド空間は、一点を除去すると非連結となり、

二次元ユークリッド空間には、そのような一点は存在しない
…とか、どお？