中学の数学の問題です。

中学数学の問題です。

あるクラスで問題Aと問題Bの２問からなるテストを実施したところAの正解者はa人で
AB両方とも正解であった生徒の人数はAの正解者の５０％であった。
またAB両方とも正解であった生徒の人数はBの正解者の２５％であった。このときABのうち
少なくとも一方が正解であった生徒の人数をaの式で表せ。

答え、５a/２です。（分母２）

この問題の解説をお願いします。
できるだけわかりやすくお願いします。

あと、
私が思うに・・・
両方正解した人→a/2人
Bの正解者をｘとすると
ｘ×１/４＝a/2
ｘ＝２a

一方が正解であった人
a-a/2＋2a-a/2
だと思ったのですが・・

たとえば
Aの正解者つまりaの人を１００人とすると両方正解した人は５０人
Bの正解者はaの４倍なので２００人
Aの正解者のうち５０人は両方とも正解した人なのでAだけの正解者は５０人
Bの正解者も同様にやって１５０人
つまり一方だけ正解した人は２００人になると思ったのですが・・
５a/2にa=１００をあてはめてやると
一方だけ正解した人は２５０人・・
私の考え方の何が間違っているのでしょうか?
すいません
解説お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/01/26 16:57

この様な問題はベン図を書いてみるのが良いですね。

問題を理解しやすい。
また、質問が「少なくとも一方が正解であった生徒の人数をaの式で表せ。」であれば、それをxと置いたほうが早道なことが多いですよ。

　Bの正解者をb人とすると、【少なくとも】から、
・一方だけ正解している人の人数と、両方正解している人の人数の和
・また、Aの正解者の人数aとBの正解者の人数bから、重複している両門正解者の人数を引けばよいです。

　問題分から、Aの正解者(a人)のうちBも正解している人数は、Aの正解者(a人)の1/2 (50%) です。aは両問正解者(x)の2倍・・・x=a/2
　「bは両問正解者(x)の4倍」「aは両問正解者(x)の2倍」から、bはaの2倍であることも分かります。

　なら
・また、Aの正解者の人数aとBの正解者の人数bから、重複している両門正解者の人数を引けばよい
　x = a + 2a - a/2 = (2a + 4a -a)(1/2) = 5a/2

　面倒くさいけど、式にするなら
x = a + b - a/2
b = 2a
　bを代入して
x = a + 2a - a/2

1) ベン図( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3% … )を書いてみる。
2) 未知数(知りたい数)をxとおく。

　

No.3 回答者： jukunendansi 回答日時： 2013/01/26 18:24

「少なくとも一方」と「一方だけ」は意味が違います。

文字で考えたときには　正しく解釈ができていました。　だから　正答が出ました。

でも、１００人で具体的に考えたとき　同じ意味に考えてしまいました。　だから　おかしなことになりました。

数学は　計算だけをする教科ではありません。

「少なくとも一方」と「一方だけ」が使い分けられるような　しっかりした脳をつくるための教科です。

しっかり　勉強しましょう。

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/01/26 15:13

つまり一方だけ正解した人は２００人になると思ったのですが・・

＞ここが問題です。「少なくとも一方が正解であった生徒の人数」
とは、1問又は2問正解であった生徒の人数です。

ほかに考え方の間違いはありません。