約数、倍数の問題

「０<a<１５０であるような整数Aがある。Ａと４２の最大公約数は６,Aと３２の最大公約数は８であるという。このときＡの個数はいくらか。」という問題があります。この問題の解説に、「Ａと４２の最大公約数は６＝２×３であり、Ａと３２の最大公約数は８＝２3であるから、Ａ＝２3×３×Ｘ=２４Ｘ(Ｘは整数)
と表すことが出来る」と載っているのですが、どうしてこう表せるのか理解できません。どなたか教えて下さい。

No.1 回答者： rmz100 回答日時： 2004/02/29 16:41

6と8はおのおのAの約数であることは問題文から分かっていると思われます。

といことは、言い換えればAは6と8の共通の倍数でもあるわけです。
そのことを利用し、解説の「2^3×3」では6と8の最小公倍数を求めているわけです。
その結果、A=24xつまり「Aは24の倍数」ということが判明するわけです。

この回答への補足

ということは、言い換えればAは6と8の共通の倍数でもあるわけです。
>どうしてＡが６と８の共通の倍数となるのか説明していただけませんか？

補足日時：2004/02/29 17:24

No.2 ベストアンサー 回答者： a103net 回答日時： 2004/02/29 17:13

42=2*3*7であり、これとAの最大公約数が6=2*3なので

A=2*3*(７の倍数でない自然数)となります

また、
32=2*2*2*2*2であり、これとAの最大公約数が8=2*2*2なので
A=2*2*2*(２の倍数でない自然数)となります。

この２つの条件を両方ともクリアするには
A=2*2*2*3*（２の倍数でも７の倍数でもない自然数）になります。
2*2*2*3=24なので
A=24*（２の倍数でも７の倍数でもない自然数）です。

No.3 回答者： rmz100 回答日時： 2004/02/29 18:40

No1.です。

> どうしてＡが６と８の共通の倍数となるのか説明していただけませんか？

率直に言わせてもらえば、説明が必要ですか？
「xの倍数=yであるなら、yの約数=x」というのはこの手問題の基本中の基本ですが・・・・

No.4 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/02/29 21:09

６はＡの約数である、よってＡは６の倍数である。

についてはいいですか？

同じように、Ａは８の倍数で「も」ある。
はいいですか？

ならば共通の倍数＝公倍数ですね。どうでしょう？

ところでこの問題、けっこういやらしいかも知れないね。
というのは２４の倍数でも４８の倍数は除かなければ
いけないですね。

No.5 回答者： sankonorei 回答日時： 2004/03/01 13:16

Ａと４２の最大公約数が６、つまり、Ａ＝２×３×ｎ。

Ａと３２の最大公約数が８、つまり、Ａ＝２×２×２×ｍ。
ここで、ｎとｍは互いに素であることが大事です。このことからＡ＝２×２×２×３×ｘとなり、Ａは２４の倍数と表す事が出来るというものです。２×３の２は２×２×２の中の１つです。ちなみに、ｘは１，３，５でしょう。