自然対数の重積分について質問があります

「I = ∬(D)ln(x+y)dxdy 積分範囲D={(x,y)|0≦x≦1, 1≦y≦2}　の値を求めよ。」
という問題がわかりません

x+y=u, x-y=vと変数変換をする
新たな積分範囲D'をD'={(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}とする
ヤコビアンの絶対値を求めれば1/2
よって
I = 1/2・∬(D')ln(u)dudv
= 3ln(3)-2
これは合っていますでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2013/06/17 14:10

>x+y=u, x-y=vと変数変換をする

>新たな積分範囲D'をD'={(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}とする

領域D'が間違っています。

x+y=u, x-y=vをx,yについて解くと
x=(u+v)/2,y=(u-v)/2
となります。
D'の領域は
D'={(u,v)|0≦(u+v)/2≦1,1≦(u-v)/2≦2}
となります。

D'を実際に(u,v)平面に書いてみましょう。D'の領域を2分割するとうまく計算できるようになるでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます
図を描いてみたところ，誤ったD'である{(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}よりさらに小さな菱形の領域が現れました
元の式の適切な用い方を学べました
これからもよろしくお願いします

お礼日時：2013/06/21 19:12

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/17 14:36

>新たな積分範囲D'をD'={(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}とする

これは間違い。
D'={(u,v)|0≦u+v≦2, 2≦u-v≦4}

>ヤコビアンの絶対値を求めれば1/2
これは合ってる。

>I = 1/2・∬(D')ln(u)dudv
>= 3ln(3)-2
間違い。

I=(1/2){∫[1,2]du∫[-u,u-2]ln(u)dv+∫[2,3]du∫[u-4,2-u]ln(u)dv}
=(1/2){∫[1,2](2u-2)ln(u)du+∫[2,3](6-2u)ln(u)du}

後は部分積分するだけです。

計算すれば
I=(9/2)ln(3)-4ln(2)-(3/2)

となるかと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます
確かに，領域をu=2を境に分ければ定積分ができますね
これからもよろしくお願いします

お礼日時：2013/06/21 19:13

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/17 14:44

A No.1 の言う通りだ。

D' を uv 平面に図示して、
u と 2 の大小で場合分けしよう。そうすると、
v の範囲が、絶対値を含まない u の式で
表せるようになる。後は簡単。

この回答へのお礼

ありがとうございます
u=2を境にした定積分が求まりました
これからもよろしくお願いします

お礼日時：2013/06/21 19:14