回帰曲線の有意性

Question

あるクラスで生徒の1ヶ月の勉強時間合計とテストの点数について調査し、グラフにしたところ対数関数に近似することができました。エクセルを使って、近似式と決定係数を出しています。
　この決定係数が有意であるかどうかを検定したいのですが、どのようにすればよいでしょうか。

stomachman · Accepted Answer

おっしゃるところの「決定係数が有意」とは何のことか、はっきりしません。有意性を問題にするのは「○○と＃＃は無相関だ」などの帰無仮説を検定する場合であり、帰無仮説を棄却した場合に、その棄却という判断が誤っている確率を計算するんです。
　もし「xとyの間には、
　　y = a log(x) + b + 誤差
という関係があり、 誤差の分布は□□分布に従う筈だ」と考える理論的根拠があって回帰分析を行った場合には、パラメータa, bの信頼性範囲を計算します。
　しかし、ご質問の場合、テストの作り方（テスト問題の揃え方）によって、曲線が変わるでしょう。たとえば、もっと難しい問題が多いテストなら、あるいは、もっと易しい問題が多いテストなら、散布図の形が（「概ね右上がりである」ということは同じだろうけど）かなり変わるに違いありません。つまり、単に「今回のテストでは、散布図がたまたま対数のグラフに似た形になった」というだけに過ぎません。対数関数を使って回帰することには何ら根拠がないのです。この場合、点数の代わりに順位を手がかりにして相関を分析する（ノンパラメトリックな）方法が適切でしょう。
　「テストの作り方」の影響を消すためによく行われるのは、テストの点数xを単調増加関数z=f(x)で変換するというやり方で、ただしf(x)は、zの分布が標準正規分布φ(z)になるような関数です。
　点数の累積分布のヒストグラム
　　p(x) = (点数がx以下である人数)/(全体の人数)
を作って、これと累積正規分布
　　q(z) = ∫[t=-∞～z] φ(t) dt
の逆関数invQとを組み合わせて
　　f(x) = invQ(p(x))
が作れます。
　こうして出したzの値が、いわゆる「偏差値」です。もちろん、（正規分布を仮定する根拠なんかないのだから）偏差値そのものも順位としての情報しか持っていません。

ついでながら、一つの注意点は、「勉強時間の長さが原因、テストの点数が結果」というような因果関係は、ご質問の調査では証明できないということです。因果関係が逆（「普段テストの点数が低いんで、勉強やる気が出ない」）だとか、勉強時間と点数の両方に共通の別の原因がある（「テストの点数に一喜一憂し勉強しろとうるさく言う親もいれば、放任主義で無関心の親もいる。前者では生徒がテストを真剣に受けるのでミスが少ないが、後者では生徒がテストを真剣に受けない」）ということかも知れないからです。

回帰曲線の有意性

おっしゃるところの「決定係数が有意」とは何のことか、はっきりしません。

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