何度か、このサイトで位相に関して質問をしている初学者です。
おかげさまをもちまして、理解が進んだと感じています。
さて位相の言葉を使うと、
「位相空間Yの開集合Vのfによる逆写像 f^{-1}(V)=UがXの開集合である場合、f : X→Y は連続」
などというと思いますが、この表現と通常のイメージでいうところの関数の連続/不連続とを対応させて理解を進めたいと思っています。
以下、1次元Euclid空間 X から 1次元Euclid空間 Y への写像 f : X→Yを考えます。
1)x=0でジャンプする関数(x=0で定義されている) : f(x)=x (x <= 0), f(x)=x+1 (x>0)
この場合、たとえば (1/2, 3/2) のf による逆写像は
f^{-1}((1/2, 3/2)) = [0, 1/2)
となります。これは X の開集合ではないので、f(x)は不連続。
2)x=0でジャンプする関数(x=0で未定義): f(x)=x (x < 0), f(x)=x+1 (x>0)
【質問】
●(1)の考え方、論証はこれで正しいでしょうか。
●(2)を(1)のと同様の論理で考える場合、
「Yの下位集合 *** の f による逆写像 f^{-1}(***) が Xにおける開集合でないので、f は不連続」
となると思いますが、この場合 *** はどういった集合になり、どういう理屈で逆写像はXの開集合ではない、と結論付けられるのでしょうか。
(x=0で定義されていないので、Xの位相がいわゆる1次元Euclid位相ではない?)
以上、ご教示よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
「連続関数」とは「グラフがつながっている関数」というのは
「中間値の定理」の帰結にすぎません.
ですので,一般の場合は「つながっている」というのは成り立ちません.
一般の位相空間の連続写像ってのは
「近くにあるものは近くのものに由来している」
というようなイメージでしょうか
そしてこの場合「近くのもの」というのは
「同じ開集合に入る」というような感じ.
「εδでのR全体で連続な関数の定義」と
「Rを位相空間とみたときの位相空間での連続写像の定義」が
同じであることの証明考えたりするといいかもしれません
この手の話,志賀浩二「位相への30講」(朝倉書店)には
かなり細かく(その分厳密性は減りますが)でてます.
#この本,なんだかんだでウリゾーンとかまででてるし
#道を概観するにはいいと思う
回答をありがとうございました。
まだまだ位相空間論の抽象的なイメージを無意識に拒絶しているようです。
「位相への30講」を読んでみたいと思います。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
はじめまして。わたしが位相数学をはじめて学んだときも、あまりにも抽象的すぎて理解し難かったのをよく覚えています。
理解し難いというか、何のためにそんな事を考えるのか、とても不思議だったのを覚えています。
さて、以下はご質問に対する回答です。
まず、(2)の関数は連続関数です。連続の定義に従って確認すると連続関数となります。
すなわち、「任意の開集合の逆像は開集合になる」ことが確認できれば、位相空間における連続の定義と不整合がなくなります。
例えば(1/2,3/2)の逆像は、(0,1/2)で開集合となります。
よろしければ、他の開集合でも確認してみてください。
回答ありがとうございます。
(2)が連続関数であるというのは驚きでした。
逆像が開集合、、、というロジックではなるほど連続だというのはわかるのですが、
素朴なイメージ(グラフが繋がっていない!)から、なかなかピンと来ません。
まだまだ勉強不足のようです。
No.1
- 回答日時:
1.逆写像じゃなく「逆像」ですよね。
あと
f^{-1}((1/2,3/2))=(0,1/2)
となり、開集合です。
この例では反例になりませんよ。
f^{-1}((-1/2,1/2))=(-1/2,0]
を使うべきでしょう。
2.こちらは不連続な点が定義域内にないので連続になるのでは?
この回答への補足
早速の回答をありがとうございます。
「逆像」ですね。なるほど。
(1)に関してはご指摘ありがとうございました。
x=0が入っている領域を間違えてしまいました。
f^{-1}((-1/2,1/2))=(-1/2,0]でXの開集合でない、ということで不連続、ということです。
(2)はちょっとピンと来ません。この関数は連続関数になるのですか。。。
奥が深いですね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 代数学 環 1 2022/10/12 17:29
- 高校 合成関数の定義域につきまして 1 2022/05/18 17:26
- 数学 集合と論理について 2 2023/01/08 05:52
- 物理学 フーリエ級数展開をExcelのFFTでシミュレートする 5 2023/07/03 22:02
- 数学 位相 2 2023/05/02 18:22
- その他(教育・科学・学問) 関数、写像について 1 2022/04/10 23:45
- 物理学 物理の惑星の問題 2 2023/03/21 18:51
- 数学 逆像法について 高校生です -1≦X≦2のとき、y=2x-3の値域を求めよ。 この問題を、集合X={ 4 2022/05/01 17:38
- 数学 逆像法について 高校生です -1≦x≦2のとき、y=2x-3の値域を求めよ。 この問題を、xについて 4 2022/05/01 23:11
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
自然数 整数 有理数 実数 加法 ...
-
三角関数(たとえばf(x)=sinxと...
-
普通の人は人を激しい責めます...
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
e<3の証明を教えてください。
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
定義付けできない言葉について
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
複雑な家庭とは
-
1未満と1以下の違い
-
べき乗
-
2変数関数の極値について
-
負の階乗 (-1/2)! =√π
-
正方行列ではない行列にも行列...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
べき乗
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
1未満と1以下の違い
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
数字の1とは何なのか?
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
Excelファイルの「数式」タブ→...
-
e<3の証明を教えてください。
-
なぜ小数は自然数ではないので...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
2進数の符号ビットの入った数...
-
最大元と極大元の定義の違いが...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
フーリエ級数展開の初項はなぜa...
おすすめ情報