何度か、このサイトで位相に関して質問をしている初学者です。
おかげさまをもちまして、理解が進んだと感じています。
さて位相の言葉を使うと、
「位相空間Yの開集合Vのfによる逆写像 f^{-1}(V)=UがXの開集合である場合、f : X→Y は連続」
などというと思いますが、この表現と通常のイメージでいうところの関数の連続/不連続とを対応させて理解を進めたいと思っています。
以下、1次元Euclid空間 X から 1次元Euclid空間 Y への写像 f : X→Yを考えます。
1)x=0でジャンプする関数(x=0で定義されている) : f(x)=x (x <= 0), f(x)=x+1 (x>0)
この場合、たとえば (1/2, 3/2) のf による逆写像は
f^{-1}((1/2, 3/2)) = [0, 1/2)
となります。これは X の開集合ではないので、f(x)は不連続。
2)x=0でジャンプする関数(x=0で未定義): f(x)=x (x < 0), f(x)=x+1 (x>0)
【質問】
●(1)の考え方、論証はこれで正しいでしょうか。
●(2)を(1)のと同様の論理で考える場合、
「Yの下位集合 *** の f による逆写像 f^{-1}(***) が Xにおける開集合でないので、f は不連続」
となると思いますが、この場合 *** はどういった集合になり、どういう理屈で逆写像はXの開集合ではない、と結論付けられるのでしょうか。
(x=0で定義されていないので、Xの位相がいわゆる1次元Euclid位相ではない?)
以上、ご教示よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
「連続関数」とは「グラフがつながっている関数」というのは
「中間値の定理」の帰結にすぎません.
ですので,一般の場合は「つながっている」というのは成り立ちません.
一般の位相空間の連続写像ってのは
「近くにあるものは近くのものに由来している」
というようなイメージでしょうか
そしてこの場合「近くのもの」というのは
「同じ開集合に入る」というような感じ.
「εδでのR全体で連続な関数の定義」と
「Rを位相空間とみたときの位相空間での連続写像の定義」が
同じであることの証明考えたりするといいかもしれません
この手の話,志賀浩二「位相への30講」(朝倉書店)には
かなり細かく(その分厳密性は減りますが)でてます.
#この本,なんだかんだでウリゾーンとかまででてるし
#道を概観するにはいいと思う
回答をありがとうございました。
まだまだ位相空間論の抽象的なイメージを無意識に拒絶しているようです。
「位相への30講」を読んでみたいと思います。
No.2
- 回答日時:
こんにちは。
はじめまして。わたしが位相数学をはじめて学んだときも、あまりにも抽象的すぎて理解し難かったのをよく覚えています。
理解し難いというか、何のためにそんな事を考えるのか、とても不思議だったのを覚えています。
さて、以下はご質問に対する回答です。
まず、(2)の関数は連続関数です。連続の定義に従って確認すると連続関数となります。
すなわち、「任意の開集合の逆像は開集合になる」ことが確認できれば、位相空間における連続の定義と不整合がなくなります。
例えば(1/2,3/2)の逆像は、(0,1/2)で開集合となります。
よろしければ、他の開集合でも確認してみてください。
回答ありがとうございます。
(2)が連続関数であるというのは驚きでした。
逆像が開集合、、、というロジックではなるほど連続だというのはわかるのですが、
素朴なイメージ(グラフが繋がっていない!)から、なかなかピンと来ません。
まだまだ勉強不足のようです。
No.1
- 回答日時:
1.逆写像じゃなく「逆像」ですよね。
あと
f^{-1}((1/2,3/2))=(0,1/2)
となり、開集合です。
この例では反例になりませんよ。
f^{-1}((-1/2,1/2))=(-1/2,0]
を使うべきでしょう。
2.こちらは不連続な点が定義域内にないので連続になるのでは?
この回答への補足
早速の回答をありがとうございます。
「逆像」ですね。なるほど。
(1)に関してはご指摘ありがとうございました。
x=0が入っている領域を間違えてしまいました。
f^{-1}((-1/2,1/2))=(-1/2,0]でXの開集合でない、ということで不連続、ということです。
(2)はちょっとピンと来ません。この関数は連続関数になるのですか。。。
奥が深いですね。
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