専門学校の入試問題です

来年度入試予定の専門学校の過去問です。
自分で考えてみましたが、解答がなくて解き方がわかりません。
解説をお願いします。

底面の半径ＡＢ＝5ｃｍの円錐があります。ＯＡ上にＯＰ＝12ｃｍなＰをとり、ＰからＯＢに下した垂線ＰＣの長さが2ｃｍでした。
次の各問に答えなさい。
（1）ＯＣ，ＡＰの長さを求めなさい
（2）Ａから円錐の側面上を回ってＰまでいく最短コースを展開図に書き込み、その長さを求めなさい。

No.3 ベストアンサー 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/09/14 09:38

(1)は、△OABでOCは三平方の定理、APは平行線と比、あるいは相似を使って求められます。

(2)は、最短距離の代表的な問題。AP'が最短であることを紙など丸めて確認してください。AP'の長さは、
・円すいの展開図の中心角AOA'を求めます。これは円すいの底面の円周が、展開図の弧AA'と等しくなることを利用します。
・この中心角が特別な角(例えば30°,45°,60°,90°など)になって、△OAA'が特別な三角形になります。頂点Aから底辺OA'に垂線を引き、三平方の定理を使って求めます。

　代表的な最短距離の問題は、円すいの他に、立方体、直方体、三角すい、三角柱、正四面体、正四角すいなどありますので、解くための道具(相似、特別な角度のある三角形での三平方の定理など）しっかり復習してください。合格をお祈り申し上げます。

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/09/14 15:01

（1）ＯＣ，ＡＰの長さを求めなさい

＞三平方の定理により、OC=√(OP^2-PC^2)=√(144-4)=√140=2√35(cm)・・・答
OP/PC=OA/AB、OA=OP*AB/PC=12*5/2=30、AP=OA-OP=30-12=18(cm)・・・答
（2）Ａから円錐の側面上を回ってＰまでいく最短コースを展開図に書き込み、
その長さを求めなさい。
＞最短コースは展開図で点Aと点P'を結ぶ線分AP'(・・・答)となる。
展開図(扇形)の円弧の長さは2*5π=10π
OAを半径とする円周の長さは2*30π=60π
よって、∠AOP'=2π*10π/60π=π/3
OP'=OP=12(cm)だから△OAP'に余弦定理を適用して、
AP'^2=OA^2+OP'^2-2OAOP'cos(π/3)=900+144-2*30*12cos(π/3)
=1044-720cos(π/3)=1044-720*(1/2)=684
よってAP'=√684=6√19(cm)・・・答

この回答へのお礼

ありがとうございました。
細かく書き込んでいただきよくわかりました

お礼日時：2013/09/14 15:36

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/09/13 23:23

(1)

三平方の定理より
OC^2+PC^2=OP^2
OC^2=12^2-2^2=144-4=142
OC=√142 cm

△OAB∽△OPCより相似比の関係から
OA/AB=OP/PC=12/2=6
OA=6*5=30 cm
AP=OA-OP=30-12=18 cm

(2)
展開図の点Aと点P'を直線で結んだ線分AP'が最短コース。
展開図の中心角∠AOP=360°*(2π*5)/(2π*30)=60°
展開図で△OAP'に余弦定理を適用して
(最短コースAP')^2=OA^2+OP'2-2OA*OP'cos60°
=30^2+12^2-2*30*12*(1/2)=900+144-360=684
∴最短コースAP'=√684=6√19　cm

この回答へのお礼

早々と解説ありがとうございました。

お礼日時：2013/09/14 15:41

No.1 回答者： dreamhope-ok 回答日時： 2013/09/13 22:55

底面の半径ＡＢ＝5ｃｍの円錐があります。

ＯＡ上にＯＰ＝12ｃｍなＰをとり、ＰからＯＢに下した垂線ＰＣの長さが2ｃｍでした。
次の各問に答えなさい。
（1）ＯＣ，ＡＰの長さを求めなさい

　△OPQ　△OAB　は相似な直角三角形であるから

　三平方の定理で △OPQのＯＣの長さを求める。

　あとは、相似であることから「比」をつかえば求められるのでは？


（2）Ａから円錐の側面上を回ってＰまでいく最短コースを展開図に書き込み、その長さを求めなさい。

　自信はないがたぶん　点Aと点Ｐ´　を直線で結べばよい。