n→∞のときn^k →∞ (k>0)の証明

高校の数3の参考書の「数列の極限」の分野に「n→∞のときn^k →∞ (k>0)」の証明が載っていたのですが、よくわからない部分があります。

kが正の整数のとき明らか。
kが正の有理数のときk=q/p (p, qは正の整数)とすると　…(1)
n^k=n^(q/p) =(n^q のp乗根)
n^q→∞であるから(n^q のp乗根)→∞　…(2)
すなわちn^k→∞
kが正の無理数のとき、
(以下略)

この、(2)の部分が分かりません。
この部分は結局、(ある数列)→∞ならば、(その数列の自然数乗根)→∞ということを根拠にしてるのかなと思うのですが、それがどうして言えるのでしょうか？

あと、(1)の部分ですが、この設定だと任意の正の整数kも表せるので、この場合において題意を示せれば、１行目の「kが正の整数のとき」の検討は要らないように思うのですが、それで合っているでしょうか？

よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/09/20 00:02

上だけ:

・有限なものは整数乗しても有限
・べき乗関数は連続

No.2 回答者： private3int 回答日時： 2013/09/20 00:08

n^q→∞であるから(n^q のp乗根)→∞　…(2)

・n^q→∞ は、1行目の「kが正の整数のとき明らか」ということを利用していますね。
・なせなら、「p, qは正の整数」であると謳っているからです。
・pは有限の自然数ですので、∞のp乗根は∞になります。

> 結局、(ある数列)→∞ならば、(その数列の自然数乗根)→∞ということを根拠にしてる
・その通りです。べき乗の収束条件と発散条件が教科書に載っているはずなので、調べてみてください。

> １行目の「kが正の整数のとき」の検討は要らない
・(2)を示すために必要です。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/20 14:33

高校教程では、収束/発散の定義を厳密には行わないので、

「極限を計算せよ」ならともかく、「発散を証明せよ」では、
混乱が生じますね。何を示せば証明したことになるのか、
いまいち不安が残ります。
まあ、なんとなくそれらしくやってみましょうか。

確かに、実は(1)も(2)も不要です。

質問文の証明は、その後、k が無理数の場合に対応するために、
0 < k に対して 0 < r < k となる有理数 r が存在することから、
n > 1 で n^r < n^k であることと
lim[n→∞] n^r = ∞ により、lim[n→∞] n^k = ∞
と締めくくることになります。

このとき、r を 1/q (qは自然数) の形をしたものだけに
限定しても支障が無いので、
(1') x → ∞ ならば x^(1/q) → ∞
さえあれば証明は完成します。(2)を経由する必要はありません。
(2)は、(1')を含んでおり、(1')を経由して示されてはいますが。

No.2 の方が書いているように、(2)を示すのに(1)を使っているか
というと…　それも微妙ですね。

(1')は、(1)の逆 [ n^q → ∞ ならば n → ∞ ] にあたります。
x = n^q と置くと、[ x → ∞ ならば x^(1/q) → ∞ ] ですからね。
(1)を示すことで、その逆を示したことにはなりません。

n ←→ n^q の対応が一対一であることから、
(1)⇔(1') を言ってもよいのですが、(1)が収束していないので、
lim[x→a] g(x)→b のとき lim[x→a] f(g(x)) = lim[y→b] f(y)
という極限の変数変換も、使いにくい。

No.1 さんが書いているように、(1')の成立を言葉で示すのが
現実的なような気がします。
高校での極限の証明は、この辺がいつもモヤモヤしますね。
(大学流なら、εδ形式で簡明に書けるのですが。)