数学C 行列の問題

ここでは行列を(左上、右上、左下、右下)の順に書き、零行列を〇、単位行列をEとします。

2次の正方行列Ａ＝(a b c d)があり、Aの５乗＝〇をみたす。

(１)Aは逆行列を持たないことを示せ。

(２)Aの２乗＝(a+d)A　となることを示せ。

(３)Aの２乗＝〇　となることを示せ。

(４)A＋Eが逆行列を持つことを示せ。


理系の中で数学Cがわかる方、１問でもいいので協力してください。

No.1 回答者： 61686168 回答日時： 2013/09/24 23:40

自信はありませんが、、、

（１）ですが背理法とかどうでしょう。
[仮定]Ａは逆行列A^(-1)を持つとする。A^5に左からA^(-1)の五乗をかけると
A^(-1)A^(-1)A^(-1)A^(-1)A^(-1)AAAAA
=A^(-1)A^(-1)A^(-1)A^(-1)EAAAA
=A^(-1)A^(-1)A^(-1)EAAA = ... =E
となるが題意ではゼロ行列にならないといけない。
これは矛盾である。よって仮定は成り立たない。　→　Aは逆行列をもたない。（終わり）

No.2 ベストアンサー 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2013/09/24 23:41

以下，行列のべき乗をA^2などと表します．

(1) 背理法によります．A^{-1}が存在するとします．A^n = Oとなるnのうち最小のものをkとします．すると
E = AA^{-1}
ですが両辺にA^{k - 1}倍することで
A^{k - 1) = A^k A^{-1} = O A^{-1} = O
となりkの最小性に矛盾します．したがってA^{-1}は存在しません．（この証明はA^n = Oとなる行列―べき零行列―についても適用できます．）

(2)ハミルトン・ケーリーの定理から
A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O
です．さらに(1)よりA^{-1}が存在しないので
det(A) = ad - bc = 0
です．よって
A^2 = (a + d)A
とわかります．

(3)まずa + d = 0を示します．(2)より
O = A^5 = (a + d)A^4 = … = (a + d)^4 A
です．したがって(a + d)^4 = 0 あるいは A = Oですが，いづれにせよa + d = 0です．したがって
A^2 = (a + d)A = 0A = O
とわかります．

(4)A + Eの行列式を計算すると，これまでの議論から
det(A + E) = (a + 1)(d + 1) - bc = (ad - bc) + (a + d) + 1= 1 ≠ 0
なのでA + Eの逆行列は存在します．

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/09/25 00:04

(4) は A+E の逆行列を見せちゃってもいいね＞#2.

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/25 15:38

蛇足：

(1)
高校教程を考えると、A No.1　No.2 の解法がよいのでしょう。
行列式に慣れていれば、O=A^5 から
0 = |O| = |A^5| = |A|^5 より |A| = 0.
よって A^-1 は存在しない とすることもできます。
こっちだと、背理法が避けられます。

(2)
これも高校教程を意識すると、ケイリー・ハミルトンの定理は
経由しないほうが無難　ということになります。
使うとしても、「成分計算してみると、成り立っている」という
説明で定理を導入することになるので、
示したい式を直接成分計算してしまうほうが、素直です。
(1) から ad-bc=0 が言えますから、
A^2-(a+d)A = (bc-ad 0 0 bc-ad) を計算すれば、
A^2-(a+d)A = O が示せます。

(3) A No.2 の言うとおり。

(4) A No.3 の言うとおり。
(E+A)(E-A) = E^2-A^2 = E-O.