正多面体の体積を微分すると表面積になる

高校生です。　数学の自由研究で、正多面体の体積と表面積の関係を調べています。

球の体積の公式を微分するとその表面積になることから、同じプロセスを正多面体でも試してみました。
始めは上手くいきませんでしたが、一辺の長さをXととるのではなく、多面体の中心から面までの距離をXととることで、体積の微分から表面積を求めることができました。

これらの成り立つ理由として、数学の先生から、中心から面までの距離Xが極わずかに増加した場合に、体積の変化はおおよそ表面積と一致するからではないか、という意見をもらいました。

これを概念的にではなくて、数式を用いてなんとか証明したいのですが、なにかいい案はないでしょうか。


（ちなみに、正多角形の中心から辺までの長さをXとしたときも、面積を微分すると周の長さになりました。）

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/11/15 23:17

正多面体って, 5種類しかないよね.