微分積分の応用問題について

問、底面の半径がa,高さがaの直円柱がある。
　　この底面の直径ABを含み、底面と30°の傾きを
　　なす平面で円柱を２つに分けるとき小さい方の
　　立体の体積を求めよ。

　　この問題について答えと途中式を含んだ解説を載せてくれると
　　ありがたいです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/12/18 12:29

ABの中点を原点O(0,0,0)とし、直径ABを含むようにx軸、直径ABに垂直な方向にy軸、原点を通り底面に垂直な方向にz軸をとったxyz直交座標系で考える。

このときA(a,0,0),B(-a,0,0),C(0,a,0)になるように切断立体を配置すれば、積分領域Dとして
D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2,y≧0}
として体積V=∬[D] zdxdyで求めることができます。

[解法1]底面に垂直で直径ABに平行な平面で切断して出来る長方形断面の図形の面積S(y)に厚みdyを掛けて積分する解法
　S(y)=2|x|z=2√(a^2-y^2)*ytan30°=(2/√3)y√(a^2-y^2)
　V=∫[0,a] S(y)dy=(2/√3)∫[0,a] y√(a^2-y^2)dy
　 =(2/√3)[-(1/3)(a^2-y^2)^(3/2)][0,a]
　 =(2/√3)(1/3)a^3=(2√3)a^3/9

同じ結果が得られます。[解法2]の方が積分が簡単ですね。
[解法2]底面に垂直で直径ABに垂直な平面で切断して出来る直角三角形（内角が30°,60°,90°）断面の図形の面積S(x)に厚みdxを掛けて積分する解法
　S(x)=yz/2=√(a^2-x^2)*√(a^2-x^2) tan30°/2=(1/(2√3))(a^2-x^2)
　V=2∫[0,a]S(x)dx=(1/√3)∫[0,a](a^2-x^2)dx
　 =(1/√3)[a^2*x-(1/3)x^3][0,a]
　 =(1/√3)(2/3)a^3=(2√3)a^3/9

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2013/12/18 11:00

今回と違うけど、

円すいと円柱・共通部分の体積 （東京大03 年）
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-n …

の方法を使えるかも （僕はまだ解いてないですけど）