2乗して-1になる数以外の虚数はあるか

虚数は英語だとimaginary number（想像上の数）だそうですが、

「2乗して-1になる数をiとして、a+bi（a,bは実数）で表される複素数」

以外の想像上の数として数学界で認識されているものはあるのでしょうか？

例えば、N ÷ 0 = 1　を満たすNとか、N!（階乗) = 3　を満たすNとか、現実にはありえない数はあるのではないかと思いますが（数学的に意味があるかはさておき）、虚数が√-1をもとにした数だけなのか気になりました。

No.1 ベストアンサー 回答者： ta20000005 回答日時： 2014/01/21 23:52

何を虚数と呼ぶかがわからないと答えにくいですが。

超複素数と呼ばれる数の世界では
j^2=1
となる実数ではない虚数単位や、
ε^2=0
となる0ではない虚数単位も扱います。
超複素数ではより一般的な二乗して-1になるiではない虚数単位を何種類も扱うのが普通です。
N÷0=1を満たすNは÷の定義により存在しませんが、wheel theoryという体系ではN/0と考えるのが妥当な数を扱います。これは1/0と0/0に代表される数となります。
N!=3を満たすNは!の拡張であるΓ関数を使うと、実数の範囲にあると考えてよいと思います。Γ(x+1)=3となる正の実数xはおよそ2.4058699863程度です。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2014/01/22 00:24

　「想像上の数」というのは単なるネーミングであって、さしたる意味はありません。

んなこと言うのなら「百兆という数だって、実際に数えた奴がいるのかよ？いないんなら、それは想像上の数じゃないか」ってことになります。単なるネーミングにこだわったって「弁護士のくせに、ケンジって名前なのはおかしいじゃないか！」なんてギャグにしかないらないわけで、かえってモノの本質が見えなくなるだけ。考え方として不適切・不健全です。だから、ネーミングから発想するという観点は忘れて下さい。

　忘れました？忘れましたね？　では。

　フツウの数以外にどんな数（っぽいもの）があるの、というご質問だと思うことにしますと、まずは複素数の延長として、四元数（しげんすう）というものが、（電気工学や量子力学における複素数ほどじゃないけれども）大いに利用されています。これは3次元空間の曲面やその運動を記述するのにとても便利なんです。四元数は実数や複素数と違って、掛け算の順番に区別がある。つまり a b ≠ b a です。
　ところで、中学校で「文字の入った式」の計算を習ったと思います。ムカシはこの教科を「代数」と言ったんですが、その意味は「普通の数同士の足し算・掛け算じゃなく、式そのもの同士の足し算・掛け算をやる」ということです。たとえば、2x + 3x = 5x というのは、「xに何か数を代入して、それから計算する」のではなくて、式2xと式3xを直接足し算して、5xという式を得る計算だ、と考える。ですから、代数では、2xだの(xの2乗)だのが、「算数における数」に相当する対象、つまり「数の代わり（代数）」になっているわけです。（それらの対象はまとめて「多項式」と呼ばれ、「数」という文字は名称に含まれていません。が、ネーミングなんかにこだわっちゃ駄目なんですってば。）
　また、ベクトルや行列というものも勉強なさったのではないでしょうか。これらも足し算や掛け算ができる（すなわち「算数における数」に相当する）対象であり、その体系は線形代数系と呼ばれます。
　さらに、関数というものも習ったでしょう。多項式に限らず、たとえば三角関数なんてものも含まれています。関数同士の足し算や掛け算によって別の関数が得られますから、関数もまた代数系になっています。微分や積分は、この代数系の上での（算数にはない）演算です。
　というわけで、「普通の数じゃないけど、無限個ある対象同士を演算で組み合わせるとまたお仲間の対象が作れるようなモノ」という観点で括りますと、とても多様な（いや、実を言えば数学に出て来るほとんどあらゆる）モノが、それに該当するんです。

　期待なさったのとはだいぶ違う回答になっちゃったんじゃないかと思いますが、それはこのご質問がなかなかスルドイ所を突いているからですよ。