いまさら ０／０＝１ ？

記号の意味から考えると
　0/0 = 0 ÷ 0
となる。除算は逆数を掛けることだから
　0 ÷ 0 = 0 × 1/0
となる。逆数とは
　a × b = 1
となる場合に、b は a の逆数だと定義されてるから
　0 × 0/1 = 1
となる。よって
　0/0 = 0 × 1/0 = 1
である。

この証明が間違えているのは、どの部分でしょうか？

No.1 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/21 12:36

０ で割っちゃいけないので、最初から間違えてます

この回答へのお礼

何故ですか？
理由があるなら、そうだと思いますが。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 13:09

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/21 12:39

＞　となる。

除算は逆数を掛けることだから
＞　　0 ÷ 0 = 0 × 1/0

０ で割っちゃいいけないのに、ここでまた
０ で割ってて、間違いです

この回答へのお礼

０で割ってはいけない理由を明記してください。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 13:10

No.3 回答者： hanzo2000 回答日時： 2014/02/21 12:47

0/0は、

「ゼロを掛けたら答えがゼロになる数」ですから
どんな数でも当てはまります。
答えが定まりません。

つまり、答えは「不定」と定義されます。

定まらない、という意味では、
あなたが
0/0=1
だと思いたいならば、あなたの中にそういう答えがあってもいい、
といえるのかもしれません。

証明としては、皆さんがおっしゃるとおり正しくありません。

この回答へのお礼

「ゼロを掛けたら答えがゼロになる数」とは、
　0x = 0
という方程式の解ですね。
それが 0/0 と等しいとは、どういう証明によって得られますか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 13:13

No.4 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/02/21 12:58

fusem23 さん、中学生か高校生かわからないけど、

「極限」、lim を習うようになると、

イヤというほど 「限りなく０に近づく数字を限りなく０に近づく数字で割る」問題を解かされるよ

この回答へのお礼

0 という数を
　lim[x→∞]1/x
と定義するなら、
　lim[x,y→0]x/y
が不定になるのは分かります。

だから、結論が間違いなのは良いとして、
私が知りたいのは、どこで間違えたかです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 13:21

No.5 回答者： rinkun 回答日時： 2014/02/21 13:33

少なくとも

　0 × 0/1 = 1
は間違ってますよね。
　0 × 1/0 = 1
の積りですか?
そうだとしても、
　定義：a × b = 1となる場合に、b は a の逆数
は『そのようなbが存在するとき』という条件がありますから
そもそも1/0は存在しないというのが正しいです。

また「除算は逆数を掛けること」は定義ではありませんね。
除算a/b=xは、b×x=aとなるxが一意に定まるときにxで定義されます。
a=b=0のときは、xがどんな数でもb×x=aが成り立ってしまいます
から、xは不定になります。
一意に定まらないので除算は定義できません。

この回答へのお礼

> 少なくとも
> 　0 × 0/1 = 1
> は間違ってますよね。

その通りです。大変失礼しました。

> 　定義：a × b = 1となる場合に、b は a の逆数
> は『そのようなbが存在するとき』という条件がありますから
> そもそも1/0は存在しないというのが正しいです。

たとえば、「実数で考えるなら」という条件が付いているなら、その通りです。
でも、「1/0という数を付け加えてはいけない」という決まりはありますか？

> また「除算は逆数を掛けること」は定義ではありませんね。
> 除算a/b=xは、b×x=aとなるxが一意に定まるときにxで定義されます。

定義と言っても、複数あることがありますから、別の定義が存在することが、この定義の否定にはならないと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 13:51

No.6 回答者： tanuki4u 回答日時： 2014/02/21 13:45

０　に　ある　X　を　掛けたら　０　になる。

この時　X　は　何か？

どんな　X　でも　０を掛けると　０　になるので、　X　は　どんな数でよい。

これが　X　は　不定　（定まらない）という意味です。

＝＝＝
a × b = 1
となる場合に、b は a の逆数だと定義されてるから
↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0

逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse, reciprocal) とは、ある 0 でない数に対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数である。すなわち、 0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいは　a^(-1)と表される。
以上引用

逆数の理解が間違っています。

では、なぜ　０でない数という制限を付けるのか？
それは　０で割ると　不定になる　数が定まらないからです。

０　×　５　＝　０
０　×　１　＝　０
というように、どんな　X　でも成立するので

０／０　が　５　でも　１　でも・・・任意すのすべての数で成立することになる。



＝＝＝＝閑話休題

証明というのは、元なる定理から始まります。
定理は、公理から始まります。

公理の証明はありません。

0/0=1
というのを公理として数学の体系が作れるのであれば、　0/0=1 であっても何ら問題ありません。
0/0=1 を証明不要な公理としているからです。


数学の歴史では、ユークリッドの公理を元に数学の体系が作られてきました。
疑問に思う人もいるもので、特に五番目の平行線公準に関しては、気持ち悪いと思う数学者がけっこういた。
※　何が気持ちわういというと、公準の説明がまわりくどいというもの。
なんとか他の公準と同じように単純化出来ないかと思っていたら、いっそいらねーじゃんと言い出す奴が出てきた。
そうして生まれたのが、非ユークリッド幾何学です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6% …

んで、数学大好き人間たちの単なる言葉遊び、趣味の世界じゃん。と思っていたら宇宙という実在するものを説明するのには、リーマン幾何学という非ユークリッド幾何学が必要だというのがわかった。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC% …

なので、質問者が　0/0=1 を元にして新しい数学体系を作っても数学的には何ら問題ありません。

この回答へのお礼

> どんな　X　でも　０を掛けると　０　になるので、　X　は　どんな数でよい。

> これが　X　は　不定　（定まらない）という意味です。

除算の定義が異なると、結果は違ってくるようですね。
　0/0 = 0 × 1/0
には問題がありそうです。

でも、
　0x = 0
という方程式の答を 0/0 と書いたら、明らかにバツを貰います。
それとも、あなたはマルにしますか？

> 逆数 (ぎゃくすう, multiplicative inverse, reciprocal) とは、ある 0 でない数に対し、乗算 (掛け算) した結果が 1 になる数である。すなわち、 0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいは　a^(-1)と表される。

もし 0 の逆数を定義したとしても、この表記の仕方は守るべきだと思います。

> 0/0=1
> というのを公理として数学の体系が作れるのであれば、　0/0=1 であっても何ら問題ありません。
> 0/0=1 を証明不要な公理としているからです。

作れないという証明はできませんよね？

だから、誰かがそういう数学体系を作ったとした時、0/0=1 となってしまうのかな、と思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 14:27

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/02/21 14:03

「1/0」という「数」を付け加えたとして, 演算規則はどうなりますか?

この回答へのお礼

明らかなのは、
　0 × 1/0 = 1
のみです。

交換法則は成立するとして問題ありませんが、結合法則や分配法則は成立しません。

また、a を実数とした時
　a × 1/0 = 1/0
　a + 1/0 = 1/0
などとするのも問題ないと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 14:37

No.8 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/21 16:25

>>また、a を実数とした時

>>　a × 1/0 = 1/0
>>　a + 1/0 = 1/0

とはほんとでしょうか？

aは単位元であり零元ということですか？

こういったことは成立しないと思いますが・・・

この回答へのお礼

> a × 1/0 = 1/0

条件が抜けてました。a ≠ 0 です。

> aは単位元であり零元ということですか？

そう考えるより、1/0 が吸収元だと言うべきでしょうか。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 17:17

No.9 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/21 16:32

1/0の逆元とは本当に0なのでしょうか？

２/0の逆元も0？3/0の逆元も0？

この回答へのお礼

> 1/0の逆元とは本当に0なのでしょうか？

0 の逆元を 1/0 とした以上、1/0 の逆元は 0 になります。

> ２/0の逆元も0？3/0の逆元も0？

そんな数まで増やした憶えはないですが。

でも、記号的には
　0 × 1/0 = 1
なら
　0 × 2/0 = 2
とする必要がありますね。
したがって、もし 2/0 を増やしたとしても、逆元は存在しません。

そもそも
　1/0 + 1/0 = 2/0
とはならないので、追加するのは1/0だけが良さそうです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 17:41

No.10 回答者： noname2727 回答日時： 2014/02/21 17:37

no.8の補足

確かに成立しそうですね、勘違いしてました

しかし、やはり0　×　1/0　＝　1　は明らかでないですね。

1/0の逆元は0とは限りませんね

1/0を単なる数として扱うので1/0を含めた演算をまず定義する必要があります

×も÷も＋も－も実数のものとは違う演算として再定義し直さなければいけません。

どう定義したらよいかは不成立なことを考えているので難しいです。

そう簡単な話ではありません。

この回答へのお礼

> 1/0を単なる数として扱うので1/0を含めた演算をまず定義する必要があります

定義するのは、そう難しいことではありません。
二項演算としてなら、乗算は a ≠ 0, a ≠ 1/0 として
　0 × 0 = 0
　0 × 1/0 = 1
　1/0 × 1/0 = 1/0
　a × 0 = 0
　a × 1/0 = 1/0
としてやれば、逆数の逆数は元の数になります。
逆数は１対１で存在しますので、除算は簡単に定義できます。

加算では a ≠ 1/0 として
　1/0 + 1/0 = 1/0
　a + 1/0 = 1/0
でいいでしょう。減算は -1/0 = 1/0 と定義すれば
　1/0 - 1/0 = 1/0
　a - 1/0 = 1/0
とすることができます。ただし、1/0 の加法逆元（反数）は存在しません。

なお、ここに挙げたのは多分一例で、他にもあると思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/21 19:04