次の命題を考えます
n^2が偶数⇒nは偶数
「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、
矛盾を導く。
今、nは奇数なのであるkが存在して2k+1と表せる。(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。
よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。
よって命題はただしい。(方針はこれでお願いします)」
ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。
2^2が偶数⇒2は偶数を証明するためにこの命題の否定である2^2が偶数∧2は奇数が真であると仮定して、2が奇数なので2^2=4より偶数よって2^2が偶数∧2は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒2は偶数は偽になる(?)
これはどこがいけないのでしょうか。
一般のnが証明できたからn=2の時も成り立つのではないのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.16ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)の命題はtknakammuraさんが言っている
>「 p が偽なら p⇒q は真のこと?」のpに相当すると
>わたしは考えています。
p→qが真になると生じる不都合はなんでしょう?
証明では、qは n^2は偶数。
で
p→qとp→否定qが同時に導かれます。つまり仮定が真なら
n^2は偶数であると「同時に」奇数でなければならない。
つまりpは常に偽でなけれぱならない。
ということです。pが常に偽なら、p→qもp→否定qも真
ですが、前提条件pが恒偽なので何も意味しません。
混乱してきたので、また質問内容をまとめて改めて質問したいと思います。
とりあえず一番最初の疑問は解決しました。またお願いします。
ありがとうございました。
No.14
- 回答日時:
>偽をかていすればどんな命題も真理表から真になるのでは?
おっしゃっていることが意味不明ですが
ひょっとして p が偽なら p⇒q は真のこと?
で、それと今回の質問とどうつながるのですか?
一応証明をまとめておくと
・n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在すると仮定します。
・n が奇数なら n = 2k + 1 (kは正数) ですから
n^2 = 4k^2 + 4k + 1 は奇数で仮定と矛盾します。
以上から
・n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在する
は偽です。
従ってその否定の
・どんなn に対しても n^2 が偶数 ならば n が偶数
は真です。 まあこの場合、対偶証明で十分ですけどね。
この回答への補足
>ひょっとして p が偽なら p⇒q は真のこと?
はい、まさにそうです
>それと今回の質問とどうつながるのですか?
tknakamuraさんがまとめた証明の一行目の
「n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在すると仮定します」
のことです。この命題を(1)の命題とする。
なぜなら本来n^2が偶数⇒nは偶数は真なのでこれの否定の命題((1)の命題)は偽ですよね?偽の命題を真と仮定したが本当は偽。
それでこの偽の命題の下何かを導いているのだからどんな命題も真になっていしまうのではないかと思っています。
(1)の命題はtknakammuraさんが言っている「 p が偽なら p⇒q は真のこと?」のpに相当するとわたしは考えています。
度々すみませんが、どうかよろしくお願いします。
No.13
- 回答日時:
>おかしな事が起きているのは何故かということです。
2を奇数だといい張っていることです。
nが奇数だと仮定することは、n が 1, 3, 5 などの値をとるということです。
2を奇数だと言い張ることではありません。
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