円柱と棒

Question

図1のように半径rとRの円柱A,Bが中心軸が平行方向にr+Rの間隔で上の接平面が水平になるように配置されている。(R>r)
二つの円柱は、それぞれ図の示した矢印の方向に高速で回転している。
その上に長さ4Ｒの一様な細い棒を両円柱に接し、かつその中心軸に対して垂直に載せる。
棒に平行にx軸を取り、円柱Ａの中心軸から水平方向にr離れた位置を原点とする。

以下の問いに答えよ。棒の質量をm、円柱と棒の動摩擦係数をμ、重力加速度をgとする。

(1)棒の重心がx軸上でdの位置にある(写真)時、棒に働く力を図に書け。

(2)時刻tにおける棒の重心の位置をx(t)とする。力のつり合いを考慮し、x(t)に関するニュートンの運動方程式を導きなさい。

(3)棒は時刻t=0に重心がx軸上の原点0に一致するように静かに載せられたものとする。時刻tにおける棒の重心の位置x(t)をtの関数として求めなさい。

この３問全滅でした。
滑らない条件ならば v=rw　とv=Rwから運動方程式を計算して差引分が進ませる方向かな？と考えたのですが動摩擦係数がちゃんと書いてあるので１問目からお手上げでした。

ちゃんと図を書いて理解するまでになりたいので急いでいるわけではないので、ご迷惑おかけしますが解説お願い申し上げます。

ybnormal · Accepted Answer

》棒のdのところに下方向にmgを書いてあとは垂直抗力のN1,N2をとりあえず示せばいいのでしょうか？

そういうことです。水平方向に摩擦力が働いているので、それも忘れないように。

》重心点よりモーメントのつり合いではなくBを支点としてN1からの反時計回りのモーメントと右端の点までの時計回りのモーメントでつり合いを立てればよいということですよね？

支点はどこにとっても結果は同じになります（というより支点の位置にかかわらず結果は同じにならなければおかしい）。ためしに、支点をＢに取った場合と棒の重心に取った場合の両方でx(t)を求めてみましたが、どちらも結果は同じになりました。
Ｂを支点とした場合、Ｎ１によつ力のモーメントは時計回りです。これとつりあうのが、棒の重心にかかる重力に由来する反時計回りの力のモーメントです。
重心を支点とするならば、時計回りのＮ１と反時計回りのＮ２の力のモーメントがつりあうことになります。

ybnormal · Answer

おっと、a = dx(t)/dtは、a = d^2x(t)/dt^2の間違いでした。

ybnormal · Answer

（２）と（３）は、棒がＡから受ける垂直効力をＮ１、Ｂから受ける垂直効力をＮ２とすると、Ｂと棒の接点を支点とする力のモーメントの釣合は、
(R - x(t))mg = N1(r + R)

垂直方向の力の釣合は、
N1 + N2 = mg

棒の加速度をaとすると、棒の水平方向の運動方程式は、
μ(N1 - N2) = ma

Ｎ１とＮ２を消去すれば、x(t)とaの関係は出て、棒は伸び縮みしないという仮定があれば、a = dx(t)/dtだからx(t)について微分方程式ができます。

gohtraw · Answer

ちゃんと解いてはいませんが、考え方として、
（あ）鉛直方向の力
　棒の重心には棒の質量に応じた重力が働く。
　棒と円筒の接点には垂直抗力（上向き）が働く。
　この三者が釣り合う。また、この棒が回転運動しない限りにおいて
　二つの垂直効力に起因するモーメント（棒の重心に関して）が釣り合う。
（い）水平方向の力
　棒と円筒の接点には、垂直効力に動摩擦係数を掛けた摩擦力が働く。
　二つの円筒との間に働く摩擦力の大小に応じて棒には加速度が生じる。

これらを図示すれば（１）はいけるでしょう。（い）を式にすれば（２）が解けて、
その結果を微分方程式として解けば（３）が解けるでしょう。

ただ、棒の重心が円筒との接点よりも内側にあれば上記が成り立ちますが、
その範囲を外れると棒は回転運動を始めます（つまり下に落ちてしまいます）。
ひょっとするとそこまでいかずに左右に行ったり来たりするかもしれませんが。
その辺の見極めも必要と思います。

円柱と棒

》棒のdのところに下方向にmgを書いてあとは垂直抗力のN1,N2をとりあえず示せばいいのでしょうか？

おっと、a = dx(t)/dtは、a = d^2x(t)/dt^2の間違いでした。

（２）と（３）は、棒がＡから受ける垂直効力をＮ１、Ｂから受ける垂直効力をＮ２とすると、Ｂと棒の接点を支点とする力のモーメントの釣合は、

ちゃんと解いてはいませんが、考え方として、

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