x=αを含む区間でf‘‘(x)が連続の時、(1)f‘(α)=0、f‘‘(α)<0⇒f(α)は極大値(2)f‘(α)=0、f‘‘(α)>0⇒f(α)は極小値
と教科書にあるのですが、この逆が成り立つのかと思って証明を考えました。
f(α)で極大値をとるならば、f‘(α)=0、αではf‘(x)が増加から減少へと変化するので、f‘‘(α)<0ゆえに逆は成り立つ。と考えたのですが、今度はf(α)で極大値⇒f‘(α)=0の逆は成り立たないので、上の「f(α)で極大値をとるならば、f‘(α)=0」の部分の十分性が心配になりました。論理というものを理解していない質問だったらごめんなさい。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f(x) = x^3 (0≦x≦1)
のとき、
f(1)=1は極大値です。
~~~~~~
f(x) をRn の部分集合 A で定義された(つまり n 変数の)実数値関数とする。x0 のある ε-近傍が A に含まれ、f(x0) がその近傍に属する任意の点 x に対して f(x0) ≥ f(x) を満たすとき、f(x) は x0 において極大になるといい、f(x0) を極大値という。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4
~~~~~~
x0の近くにf(x0)<f(x)を満たすxが存在しなければ、
f(x0)は極大値。
つまり、
「x=αを含む区間でf‘‘(x)が連続の時、(1)f‘(α)=0、f‘‘(α)<0⇒f(α)は極大値(2)f‘(α)=0、f‘‘(α)>0⇒f(α)は極小値」
の逆は成り立たない。
この回答への補足
では、片道しか成り立たないということですね。
教科書の問題で、第2次導関数を利用して、関数の極値を求めよ。
f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1
f‘(x)=4x(x-1)(x-2)
f‘‘(x)=4(3x^2-6x+2)
f‘(x)=0とすると、x=0,1,2
F``(0)>0、f‘‘(1)<0、f‘‘(2)>0より、
x=0で極小値1、x=1で極大値2、x=2で極小値1をとる。
とここで解答が終わっています。
片道しか成り立たないのであれば、x=0で極小値1、x=1で極大値2、x=2で極小値1をとるときに、本当に、元の関数に一致するのか?という十分性の議論が必要だと心配になったのですが、私の論理の誤解ですか?
No.1
- 回答日時:
>x=αを含む区間でf‘‘(x)が連続の時、(1)f‘(α)=0、f‘‘(α)<0⇒f(α)は極大値(2)f‘(α)=0、f‘‘(α)>0⇒f(α)は極小値
と教科書にあるのですが、この逆が成り立つのかと思って証明を考えました。
成り立ちません。
成り立たない簡単な例を挙げます。
f(x)=x^4 はx=0で極小値をとりますがf"(0)=0です。
この回答への補足
では、片道しか成り立たないということですね。
教科書の問題で、第2次導関数を利用して、関数の極値を求めよ。
f(x)=x^4-4x^3+4x^2+1
f‘(x)=4x(x-1)(x-2)
f‘‘(x)=4(3x^2-6x+2)
f‘(x)=0とすると、x=0,1,2
F``(0)>0、f‘‘(1)<0、f‘‘(2)>0より、
x=0で極小値1、x=1で極大値2、x=2で極小値1をとる。
とここで解答が終わっています。
片道しか成り立たないのであれば、x=0で極小値1、x=1で極大値2、x=2で極小値1をとるときに、本当に、元の関数に一致するのか?という十分性の議論が必要だと心配になったのですが、私の論理の誤解ですか?
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