det(A)≠0 の必要十分条件を教え乞う！

質問１．ｎ次正方行列 A の行列式 det(A) が 0 でない（ det(A)≠0 ）ための必要十分条件を教えて下さい．

質問２．ｎ次正方行列 B の行列式 det(B) が 0 になる（ det(B)＝0 ）ための必要十分条件を教えて下さい．

「質問１」や「質問２」が，定理か何かの形で分かっていれば，是非，教えて下さい．

ちょっと，調べましたところ，Wikipedia には，記述がありません．「数学辞典・３版」や「数学辞典・４版」にも載っていないようです．その他の数学の辞典類にも見あたりません．

定理でなくても，det(A)≠0　又は　det(B)＝0 を調べる数学的手法があれば教えて下さい．

よろしくおねがいします．

No.4 ベストアンサー 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2014/07/10 15:04

体を成分にもつ n 次正方行列 A の話だとします．次は同値です．

(1) det(A) ≠ 0
(2) ある n 次正方行列 B で AB = BA = I (単位行列) を満たすものが存在する
(3) A の列ベクトルは線型独立
(4) rank(A) = n
(5) 連立方程式 Ax = 0 の解は自明なもの x = 0 に限る
(6) null(A) = 0

Wikipediaにも大体載ってますし，数学辞典でも行列の項などを引けば見つかります．線型代数の教科書であれば，どんなものにも載っているでしょう．

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/正則行列

この回答へのお礼

行列の成分が体だとすれば，(1)と(2)が同値ということなので，これが使えそうです．有り難うございます．

ところで，(2)に関して，AB = BA = I を満たす B が存在しない場合は，det(A)＝0 と考えて差し支えありませんか？

お礼日時：2014/07/10 15:44

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/11 10:04

det(A)≠0 は A が正則 と同じ。

A が正則 ＝ Aが逆行列を持つ と定義されますが

<=>Aの列ベクトルが一次独立<=>Aの行ベクトルが一次独立
<=>Aの固有値が全て非ゼロ<=>Aのランクがn

と同じ。この設問の答えとしては　「正則」のひとことで十分でしょう。

この回答へのお礼

＞det(A)≠0 は A が正則 と同じ。

なるほど，非常に簡潔で，良い参考になります．ありがとうございました．

お礼日時：2014/07/11 10:26

No.5 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2014/07/10 16:15

<回答No.4 お礼

その通りです．先の回答に書いたことの対偶をとれば質問2に答えになります．

この回答へのお礼

対偶をとれば・・・で納得できました．有り難うございました．

お礼日時：2014/07/10 16:26

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/07/10 14:52

ちょっと質問が大雑把すぎないかなぁ.

何をしている最中に出てきたのかとか, 何がしたくてそういうことを考えているのかとか, できれば詳細を書いてもらえませんか?

この回答へのお礼

ある事情のため，「何をしている」とか「何がしたくて・・・」とかの詳細は書けません．悪しからず．有り難うございました．

お礼日時：2014/07/10 15:18

No.2 回答者： satoron666 回答日時： 2014/07/10 13:50

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92% …
これのこと？

次正方行列 d
で調べれば出てくると思いますよ。

この回答へのお礼

有用なご指導，ありがとうございます．参考になります．
書き忘れましたが，行列の要素は実数です．複素数ではありません．

行列 A が対角化可能である場合と，対角化可能でない場合について，考えてみます．

もし，気が付かれた事がありましたら，お手数ですが，また，ご投稿下さい．

お礼日時：2014/07/10 15:04

No.1 回答者： hashioogi 回答日時： 2014/07/10 13:40

よく分からんけどdetを計算するしかないんじゃないの

この回答へのお礼

一般の場合の ｎ×ｎ行列の行列式を考えていますので，実際の計算ができないのです．有り難うございました．

お礼日時：2014/07/10 14:42