電磁気学の問題です。

中心を共通する半径a、半径bの球殻A、球殻Bがある(b＞a)。AとBとの間には誘電率εの誘電体を挿入し、ほかは真空である。次の問に答えよ。ただし、誘電体は等方的で線形な物質であるとする。
(I)球の中心に点電荷qを置き、A、BにそれぞれQA、QBの電荷が一様に帯電しているとし、球殻の中心からの距離をrとして、電束密度D(r)、電場E(r)を求めよ。

(II)A、Bの電位VA、VBを無限遠方を基準として計算せよ。

(III)AB間の静電容量を求めよ。

このような問題です。
(I)はそれぞれの電場(q、A、B)を求めて足し合わせようと考えているのですが、電場の求め方が分かりません。

(II)は、E=-gradVから求めようと思っていますが、Eがわからないことにはどうしようもできません。

(III)はQ=CVに代入するんでしょうか？

以上です。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2014/08/01 13:22

（１）

0 < r < a
ガウスの法則より
　E・4πr^2 = Q/ε0
　E = Q/(4πε0r^2)
　D = Q/(4πr^2)

a < r < b
ガウスの法則より
　E・4πr^2 = (q+QA)/ε0
　E = (q+QA)/(4πε0r^2)
　D = (q+QA)/(4πr^2)

b < r
ガウスの法則より
　E・4πr^2 = (q+QA+Qb)/ε0
　E = (q+QA+QB)/(4πε0r^2)
　D = (q+QA+QB)/(4πr^2)



（２）　（１）で電界Eを出したから、電位は求められるんだよね（ニコニコ）
　E = -dV/dr
で、
　VB = -∫[∞,b]Edr = -(q+QA+QB)/(4πε0)・∫[∞,b](1/r^2)dr = (q+QA+QB)/(4πε0b)

VAは
　VA = (q+QA)/(4πε0a) + QB/(4πε0b)


（３）
　電荷Q = q+QA
　電位差V = VA - VB = (q+QA)/(4πε0a) - (q+QA)/(4πε0b) = (q+QA)/(4πε0a)・(1/a - 1/b)

　静電容量C = Q/V = 4πε0/(1/a-1/b) = 4πε0ab/(b-a)