逆ゴールドバッハ予想

仰々しいタイトルをつけてしまいましたが、次の予想を立てました

【逆的なゴールドバッハ予想】
13以上の奇素数は、2つの合成数の和で表すことができる。
また、この2つの数は互いに素である。

13=4+9,29=14+15,59=27+32


この予想は、たぶん合っていると思うのですが…
簡単に証明できる気がするのですが、行き詰まってしまいました。どなたか証明または否定証明できるでしょうか

●１つのヒント
すべての奇数2k+1は、２つの連なる数の和k+(k+1)で表すことができる。

したがって、
奇素数=(k-m)+(k+m+1)
の形で表すことができる。
このとき、右辺の2項のうち一方は偶数だから、もう一方の数が奇素数である必要はない

ということを証明できればよいのですが…
ちなみに、参考として2つの数a,kが互いに素(a,k)=1であるとき、(a,a+k)=1となります。

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2014/08/31 17:34

質問者さんの「逆ゴールドバッハ予想」は，「ゴールドバッハの予想」と同値である．言い換えると，この「逆ゴールドバッハ予想」は，「ゴールドバッハの予想」そのものである．

【解説】
13以上の奇素数を p とする．2つの合成数を，それぞれ，2a と b とする．

p＝2a＋b

ここで，a を正の整数とし，b は奇数（正の整数）である．p＝2a＋b を変形して，2a＝p－b と書いておく．

今，c を任意の正の整数として，2c を，2a＝p－b の両辺へ加えると，

2a＋2c＝p－b＋2c,
2(a＋c)＝p－b＋2c.

ここで，2c－b が奇素数であるためには，ある任意の奇素数 q をとり，2c－b＝q とすると，2(a＋c)＝p－b＋2c は 2(a＋c)＝p＋q となる．この 2(a＋c)＝p＋q は「ゴールドバッハの予想」に他ならない．

(補足)：13≦2a＋b なので，13＝2a＋b の時は，a＝2，b＝9. したがって，a≦2，b≦9.

2c－b＝q から，2c＝q＋b，2c≦q＋9. 一方，a≦2 から，2a≦4 である．よって，2c≦q＋9 と 2a≦4 を辺々加えると，2(a＋c)≦q＋13 となる．

ここで，q は，b の最小値が b＝9 であるから，2c－b＝q により，2c－9＝q である．この 2c－9＝q を満たす最小の c と q は， c＝10 と q＝11 でなければならない．すなわち，2・10－9＝11 である．よって， 2(a＋c)＝p＋q の最小の 2(a＋c) は， a＝2，c＝10 より，2(a＋c)＝24 となる．

したがって，質問者さんの「逆ゴールドバッハ予想」は，2n＝p＋q の n＝12 以上の「ゴールドバッハの予想」であると言えます．

（質問者さんへ：以上の解説の，どこかに瑕疵があったらお許し下さい！）

（閲覧者の方々へ：瑕疵にお気づきの方は，どうぞ，ご指摘下さい．）

No.1 回答者： ask-it-aurora 回答日時： 2014/08/31 15:20

とりあえず傍証を．13以上1000未満の素数について主張は正しいです．

13 = 4 + 9
17 = 8 + 9
19 = 4 + 15
23 = 8 + 15
29 = 4 + 25
31 = 4 + 27
37 = 4 + 33
41 = 6 + 35
43 = 4 + 39
47 = 8 + 39
53 = 4 + 49
59 = 4 + 55
61 = 4 + 57
67 = 4 + 63
71 = 6 + 65
73 = 4 + 69
79 = 4 + 75
83 = 6 + 77
89 = 4 + 85
97 = 4 + 93
101 = 6 + 95
103 = 4 + 99
107 = 8 + 99
109 = 4 + 105
113 = 8 + 105
127 = 4 + 123
131 = 6 + 125
137 = 4 + 133
139 = 4 + 135
149 = 4 + 145
151 = 4 + 147
157 = 4 + 153
163 = 4 + 159
167 = 6 + 161
173 = 4 + 169
179 = 4 + 175
181 = 4 + 177
191 = 4 + 187
193 = 4 + 189
197 = 8 + 189
199 = 4 + 195
211 = 4 + 207
223 = 4 + 219
227 = 6 + 221
229 = 4 + 225
233 = 8 + 225
239 = 4 + 235
241 = 4 + 237
251 = 4 + 247
257 = 4 + 253
263 = 4 + 259
269 = 4 + 265
271 = 4 + 267
277 = 4 + 273
281 = 6 + 275
283 = 4 + 279
293 = 4 + 289
307 = 4 + 303
311 = 6 + 305
313 = 4 + 309
317 = 8 + 309
331 = 4 + 327
337 = 4 + 333
347 = 4 + 343
349 = 4 + 345
353 = 8 + 345
359 = 4 + 355
367 = 4 + 363
373 = 4 + 369
379 = 4 + 375
383 = 6 + 377
389 = 4 + 385
397 = 4 + 393
401 = 6 + 395
409 = 4 + 405
419 = 4 + 415
421 = 4 + 417
431 = 4 + 427
433 = 4 + 429
439 = 4 + 435
443 = 6 + 437
449 = 4 + 445
457 = 4 + 453
461 = 6 + 455
463 = 4 + 459
467 = 8 + 459
479 = 4 + 475
487 = 4 + 483
491 = 6 + 485
499 = 4 + 495
503 = 6 + 497
509 = 4 + 505
521 = 4 + 517
523 = 4 + 519
541 = 4 + 537
547 = 4 + 543
557 = 4 + 553
563 = 4 + 559
569 = 4 + 565
571 = 4 + 567
577 = 4 + 573
587 = 4 + 583
593 = 4 + 589
599 = 4 + 595
601 = 4 + 597
607 = 4 + 603
613 = 4 + 609
617 = 6 + 611
619 = 4 + 615
631 = 4 + 627
641 = 4 + 637
643 = 4 + 639
647 = 8 + 639
653 = 4 + 649
659 = 4 + 655
661 = 4 + 657
673 = 4 + 669
677 = 6 + 671
683 = 4 + 679
691 = 4 + 687
701 = 4 + 697
709 = 4 + 705
719 = 4 + 715
727 = 4 + 723
733 = 4 + 729
739 = 4 + 735
743 = 6 + 737
751 = 4 + 747
757 = 4 + 753
761 = 6 + 755
769 = 4 + 765
773 = 6 + 767
787 = 4 + 783
797 = 4 + 793
809 = 4 + 805
811 = 4 + 807
821 = 4 + 817
823 = 4 + 819
827 = 8 + 819
829 = 4 + 825
839 = 4 + 835
853 = 4 + 849
857 = 6 + 851
859 = 4 + 855
863 = 8 + 855
877 = 4 + 873
881 = 6 + 875
883 = 4 + 879
887 = 8 + 879
907 = 4 + 903
911 = 6 + 905
919 = 4 + 915
929 = 4 + 925
937 = 4 + 933
941 = 6 + 935
947 = 4 + 943
953 = 4 + 949
967 = 4 + 963
971 = 6 + 965
977 = 4 + 973
983 = 4 + 979
991 = 4 + 987
997 = 4 + 993