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- 回答日時:
基本的に剰余の問題は,題意通りに式を立てれば解けます。
題意から
P(x) = (x^2 + 4) * Q1(x) + x - 3 (1)
P(x) = (x^2 - 2x + 2) * Q2(x) + x + 7 (2)
とできる。
P(x) を x^2 + 4 で割った商(= Q1(x))を x^2 - 2x + 2で割った余りを ax + b とすると,
(2次式で割った余りは1次式以下なので,ax + b にしています。)
(例えば,x^3 + *** で割った余りなら,ax^2 + bx + c になります。)
Q1(x) = (x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b
とあらわされるから,(1) に代入して,
P(x) = (x^2 + 4) * ((x^2 - 2x + 2) * R(x) + ax + b) + x - 3
= (x^2 + 4) * (x^2 - 2x + 2) * R(x) + (x^2 + 4) * (ax + b) + x - 3
= (x^2 + 4) * (x^2 - 2x + 2) * R(x)
+ (ax + 2a + b) * (x^2 - 2x + 2) + (6a + 2b + 1)x - 4a + 2b - 3
(展開して x^2 -2x + 2 で割り算)
(2) と比較して,
6a + 2b + 1 = 1
-4a + 2b - 3 = 7
したがって,a = -1, b = 3 となり,余りは -x + 3 である。
簡単に検算すると,R(x)=0 とすれば,Q1(x) = -x + 3 なので,
(1) に代入して,
P(x) = (x^2 + 4) * (-x + 3) + x - 3
= -x^3 + 3x^2 -3x + 9 = (-x + 1) * (x^2 -2x + 2) + x + 7
となって,(2) に矛盾していないので,大丈夫でしょう。
計算ミスしてるかもしれないので,ご自身で確認してみてください。
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