数列、数学的帰納法の問題

数2B、数列、数学的帰納法の問題です。
どうしてこのように推定できるのかわかりません。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• bn-1=(b-1)(bn-1+bn-2+・・・b+1)と因数分解できるというところを、
  詳しく教えていただけないでしょうか？ お願いします。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/02/19 19:04

• keiryuさん、spring135さん、ありがとうございます。
  一晩、寝ておきたら納得しました。

    補足日時：2015/02/20 06:55

No.4 回答者： okada2728 回答日時： 2015/02/22 22:44

a(n)の分子はすぐにb^nと考えられます。

またa(n)の分母は1+b+b^2+・・・+b^(n-1)と考えられますが、これは初項1、公比b、項数nの等比級数の和なので等比級数和の公式から(b^n-1)/(b-1)です。
したがってa(n)は、
a(n)=分子/分母=b^n/[(b^n-1)/(b-1)]=b^n*(b-1)/(b^n-1)
となり題意は示されました。

No.3 回答者： keiryu 回答日時： 2015/02/19 21:04

(bn-1)を(b-1)で割れば、商が、(bn-1+bn-2+・・・b+1)となり、割り切れますから、因数分解できますね。

No.2 回答者： keiryu 回答日時： 2015/02/19 16:10

ａ4＝ｂ4/（ｂ3+ｂ2+ｂ+1）となるのは分かる？

ａn＝bn（b－1）/（bn－１）の分母の部分は、
bn－１＝（b－１）（bn-1＋bn-2+・・・・・ｂ＋1）と因数分解できるので、
ｂ－1で約分すると、
ａｎ＝ｂｎ/（bn-1＋bn-2+・・・・・ｂ＋1）となり、初めに提示された式が推定できるよね

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/18 23:23

b^n-1をb-1で割り算してみてください。

n=2,3,....10ぐらいまでまじめにやった方がいです。

ヒントは

a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......+b^(n-1)) (b=1)

または等比級数の和の公式

1+a+a^2+a^3+ a^(n-1)=(1-a^n)/(1-a)