重積分の順序の交換について

重積分について調べていたのですが、以下のサイトにたどり着きました。

http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integratio …

そこで、1<x<∞,1<y<∞の積分範囲で、

∫dx∫dy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 = π/4 or -π/4

と言う、積分の順序で符号が変わる例を見たのですが、何が原因なのかよく分かりませんでした。

以前、被積分関数が非有界になるとおかしな事が起こると教えて頂いたのですが、
今回の例は非有界になる点は(x,y)=(0,0)のみで、
問題とする範囲にはないと思うので、それは違うと思います。

この話で何が原因かお分かりの方、どうか理由を教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2015/05/21 20:49

当方、工学屋なので数学専攻では無いけれど・・!

ただ、質問の例の場合だと、以下の様な事は言えるのではと思う・・!

即ち・・

∬[D]f(x,y)dxdy　　D = {(x,y)|1＜x＜∞ , 1＜y＜∞}
に於いてxとyとを入れ替えると
∬[D']f(y,x)dydx　　D' = {(y,x)|1＜y＜∞ , 1＜x＜∞}
だがD = D'であるから
∬[D']f(y,x)dydx = ∬[D]f(y,x)dydx

f(x,y) = (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2に於いてx,yを入れ替えると
f(y,x) = (y^2-x^2)/(y^2+x^2)^2 = - (x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 = -f(x,y)

よって
∬[D]f(y,x)dydx = -∬[D]f(x,y)dydx

・・となって符号が変わる。

この回答へのお礼

おお、回答ありがとうございます。実は、この後考えて自分の中ではすでに答えが出ていました。
この被積分関数をxyz空間に書くと、x=yを境に一方では正で遠くに行くほど減少、
もう一方では負で遠くに行くほど絶対値が減少します。ここでxで積分すると、
ｘ＝１近くでは負なのですが遠くで正の領域が無限に続く影響で積分値は正となります。
また、yで積分するとy=1付近では正ですが、遠くの負の領域の影響で積分値は負となります。
交代級数の和を取る順番による値の変化のアナロジーとして理解するといいと思います。

つまりは「被積分関数が非有界では積分の順番に注意。」が以前の教訓

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/8792038.html

とすると、今回は「積分範囲が非有界なら積分の順序に注意。」と言えそうです。
ありがとうございました！！

お礼日時：2015/05/21 22:27