円と直線の交点の求め方

y=(3/4)x
と
x^2+y^2=1
の交点を求めよという問題があったとします。

普通は代入法により
x^2+(9/16)x^2=1
でx=4/5と求めると思います。

しかし
（１）
y=3k x=4kとおいて（kは実数）
これを下の式に代入して
kを求める方法はありでしょうか？

（２）
この場合落とし穴はあるでしょうか？
（kの定義付けを忘れないことだけ？）

（３）
このkって「媒介変数」でよかったでしょうか？

お願い致します。

質問者からの補足コメント

• x=±4/5でした

    補足日時：2015/07/25 11:47

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/25 12:23

（１）ありでしょう。

　実際に下の式に代入すれば、

　　　16*k^2 + 9*k^2 = 1
　　　25*k^2 = 1
　　　k^2 ＝ 1/25
　　　k = ±1/5

　よって、

　　　x = 4/5、y = 3/5
または
　　　x = -4/5、y = -3/5

（２）特にないでしょう。
　ただし、おっしゃるように、x, y に制限がある場合には、それを k の条件に適切に反映する必要があります。
　また、k → x, y に戻す際に、 その条件や「組合せ」にも注意する必要があります。

（３）はい。「媒介変数」でよいようです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AA%92%E4%BB%8B …

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2015/07/30 16:57

No.2 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/07/26 09:28

数学あまり得意でないのかな。

＞普通は代入法により
　「この問題がでたら、このテクニックで解く」という解き方を覚えようとする。これは数学にかかわらず理系科目で最も失敗する習得方法ですよ。ちょっとひねくった問題を出されるとお手上げになる。そのために膨大な問題集をこなしてひたすらテクニックを覚えようとする。

＞(複数の線)の交点を求めよという問題があったとします。
　交点(x₀,y₀)は、どちらの線を表す方程式を満たすのですから、代入だろうが行列だろうが、最も解きやすい方法を使えばよい。中学校の複数の未知数の連立一次方程式を代入で解いたり、拡張行列で解いたり、(鶴亀算のように)媒介変数を用いたり・・。
　なぜなら「交点は両方の式を満たす点」だからです。

y=(3/4)x
x² + y² = 1
　両方の式を成り立たせる点を見つければよいのですから
4y = -3x
(16/16)x² + (1/16)16y² = 1

16y² = 9x²
(16/16)x² + (1/16)16y² = 1

16y² = 9x²
(16/16)x² + (1/16)9x² = 1

16y² = 9x²
(16+9)/16)x² = 1

16y² = 9x²
(25/16)x² = 1

16y² = 9x²
x² = 16/25

16y² = 9x²
x = ±4/5

と解こうがお好きな---楽なとき方で解けばよい。ただ、未知数で割るときは分母が0になることを避ける、平方根は±があることなどを見落とさなければ良い。
　ですから媒介変数使っても良いが、この場合反ってややこしくなるかも。

この回答へのお礼

妄想がはげしすぎます。
数学は好きな様にとくものではありません。
緻密にとくものです。

お礼日時：2015/07/30 16:58