行列の問題です。どうかお願いします

こちらです

No.1 ベストアンサー 回答者： ガラパゴス携帯 回答日時： 2015/09/03 08:23

群や環は既知でいいかな。

M_n(K)は環になる。
Kは体ね。

5.は簡単でしょう。
k=1なら当たり前。
k≧2なら、A^k=AA^(k-1)=A^(k-1)A=E
これを見て意味不明なら、正則の定義を知らないんだと思う。

6.はdet(A^k)=(detA)^kを使うのは反則ね。
そういう問題じゃないから。
背理法かな。
Aが正則ならAB=BA=EとなるB∈M_n(K)がある。
AB=BAだから(A^k)(B^k)=(AB)^kが成り立つ。
左辺は零行列で右辺は単位行列だからおかしい。

この(A^k)(B^k)=(AB)^kの証明も、厳密にやると大変だね。
k=1なら当たり前だけど、k=2の場合は少し長くなる。
(A^2)(B^2)=(AA)(BB)=A(A(BB))=A((AB)B)=A((BA)B)=(A(BA))B=((AB)A)B=(AB)(AB)=(AB)^2
一般にkの場合は、興味があればでやってください。

この回答へのお礼

詳しい回答ありがとうございます！！！
とても助かりました

お礼日時：2015/09/03 13:15