πの二乗/12と2π+πの三乗/6の大小比較

二つの大小関係を判定せよ。
という問題なのですがどう証明すればいいですか？

質問者からの補足コメント

• n^2/12 と 2π + (π^3)/6 ではなく
  n^2/12 と 2π − (π^3)/6 でした

    補足日時：2015/10/21 20:30

No.3 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/21 22:14

PC起動したので一応補足しておきます

A : π^2/12
B : 2π − (π^3)/6
とした時、B/A>1でもB-A>0(もしくはそれらの逆)でも計算する式は最終的に同じです
(No.2の式24/π-2π<1を変形すると、2π^2+π-24<0)

A - B = π/12(2π^2 + π -24) < π/12(2*3.2^2 + 3.2 - 24) < 0となるので差でも求まります

今回適当に(といっても、4や3.5で無理なことは裏で計算してますが)3.2としてますが、問題によっては3.15とかで検討する必要があります

もしくは、f(x) = 2x^2 + x -24とするとf(π)が正か負かを判断する方法もあります
f(x)はx>1/4で単調増加なのでf(x) =0の解がπより大きいのか小さいのか分かれば良いことになります
この時、解は(-1+√193)/4 = 3.223~となるので、それより小さいのでf(π)<0となります
ただ、結局電卓がないと√193がどれぐらいか判断する必要が有るため、問題によっては今回のように無理やり値を代入して調べるほうが楽です

あと補足としては、A-B = π/12(2π^2 + π -24)ですが、さらにπでくくると
π^2/12(2π-24/π+1)
となり、括弧内<0→1<24/π+2πとなり、はじめに言ったように比(分数)でやった方法と同じことになります

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/21 21:38

でしたら先ほどの解き方だと、24/π-2πが1より大きいかどうかですね(πの前に2を忘れてました)

それだと差分が0より大きいかどうか見た方が楽かもしれないです
でも、その場合ルートの計算になって面倒なので(πの代わりにxと置いて解の公式から0になる点よりπが大きいかどうかを見る)、そのまま突っ走ります

3.1<π<3.2より
24/π<24/3.2
-2π>-2*3.2
よって、
24/π-2π>24/3.2-2*3.2=7.5-6.4=1.1>1
よって、2π-π^3/6の方が大きいです

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/21 19:40

比べる数が両方共正であるなら、

大きい数 / 小さい数 >1
もしくは
小さい数 / 大きい数 < 1
が成り立つので、分数にして1より大きいか小さいか見ればいいです

問題文が n^2/12 と 2π + (π^3)/6 だと判断しますが、あってますか？ (右は(3π)^3/6ではないですよね？)
それですと、右は (12π + π^3)/6となるので、分子にした方が楽そう
ですので、
{(12π + π^3)/6 } / {π^2/12}
= 2(12+π^2) / π
= (24/π) + (π) > π > 1
よって、右の方がでかいです

というか、π>3なので、
2π+π^3/6 > π^3/6 > π^2*3/6 = π^2/2 > π^2/12
でも良いです

一応確認ですが、乗数や分母間違ってませんか？

この回答へのお礼

n^2/12 と 2π + (π^3)/6 であっていますが、すみませんn^2/12 と 2π −(π^3)/6
でした

お礼日時：2015/10/21 20:29