ゲーム理論について。

パレート非効率的(=パレート最適)が存在しないゲームは有るのですが、パレート効率的が存在しないゲームは有るのでしょうか？回答、宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• つまりパレート効率的、パレート非効率的な戦略の組は両方とも存在しない場合があると言う事ですよね？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/25 09:23

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2015/10/28 18:20

No4を例をあげて説明しましょう。

No2の男女の諍いゲームを例にとって説明しましょう。ただし、（サッカー、バレエ）、（バレエ、サッカー）のときの利得はどちらも（0,0)としましょう（これが本当の男女の諍いゲームです）。すると、いま、（サッカー、バレエ）の組にたいては、（サッカー、サッカー）というパレート優越な組がある。なぜなら、後者の組から得られる利得は(3,1)だからです。しかし、これでは、これに対してパレート優越な組は存在しないから、（サッカー、サッカー）がパレート効率的となってしまう。したがって、これがパレート非効率であるためには利得表を修正して、（サッカー、バレエ）の利得を、たとえば、（4,2)と修正してみましょう。すると、（サッカー、バレエ）は（サッカー、サッカー）に対してパレート優越となるけれど、このままでは、（サッカー、バレエ）にパレート優越する組が存在しないので、（サッカー、バレエ）がパレート効率的になってしまう。したがって、これよりパレート優越の組をつくるために、（バレエ、バレエ）の利得を（0,0)から(5,3)に修正してみましょう。すると、たしかに、（バレエ、バレエ）は（サッカー、バレエ）に対してパレート優越だけれど、（バレエ、バレエ）にパレート優越する組は存在しないので、この組はパレート効率的になってしまう。このように、パレート非効率的組から出発して、ゲームをパレート非効率的組だけからなるゲームにしょうとすると、戦略が有限な個数の戦略からなるゲームではかならずパレート効率的組があらわれてしまう。つまり、戦略の組がすべてパレート非効率であるゲームは存在しない、ということです。
　では、戦略の組が無限であるときはどうか？パレート非効率な戦略の組だけからなるゲームは存在しうるので、つぎのような簡単な例を見てみましょう。プレイヤーAの戦略はただひとつ、１を選択すること。プレイヤーBの戦略集合は開区間（0,1)、つまり、Bの戦略は１より小さい正の実数ならなんでもよいとする。利得は、自分が選んだ数字がそのまま、各プレイヤーの利得となるとする。すると、Aは１以外の選択肢はないから、利得も１、Bは、たとえば、0.5を選択すれば、0.5がBの利得となる。では、(1,0.5)はパレート非効率だろうか？はい、そうです、なぜなら、（1,0.6)ほうがパレート優越的だから。では、(1,0.6)はパレート効率的か？いいえ、なぜなら、(1,0.7)は前者にたいしてパレート優越的だから。このように、このゲームの戦略の組はすべて(1,x)、０＜ｘ＜１で表されるが、それらはすべてパレート非効率的である（なぜ？）このように、戦略集合が無限の場合には戦略の組がすべてパレート非効率的であるゲームが存在し得るといえるでしょう。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2015/10/26 14:20

戦略集合が有限ーたとえば、じゃんけんゲームのようなーならば、すべての戦略の組がパレート非効率的であるゲームというのはありえない、つまり存在しない。

いま、仮に、すべての戦略の組がパレート非効率であるゲームがあったとしよう。すると、そのゲームの任意の（戦略の）組から出発して、その組がパレート非効率的ということは、その組に対してパレート優越的な組が存在するということ。さらに、そのパレート優越的組もパレート非効率的でなければならないから、その組に対してもパレート優越的組が存在しなくてはならない。そうやって一つ一つパレート優越的な組をつぶしていくと、（ゲームの戦略集合が有限なら）最後にパレート優越な組が一つ残ることになるが、その組にたいしてはパレート優越的な組は存在しないから、その最後に残った組はパレート効率的でなくてはならない。しかし、それはすべての組がパレート非効率であるという仮定に反することになり、矛盾。したがって、当初の仮定ーすべての戦略の組が非効率的であるという仮定ーは正しくなかった、つまり、すべての戦略の組が非効率的であるということは戦略の組が有限個しかないゲームではありえない、ということになる。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2015/10/25 16:44

回答１で、

>いまじゃんけんゲームを考えましょう。プレイヤーAとBがじゃんけんをする。各プレイヤーの戦略はぐう、ちょき、ぱあの３つである。利得は勝ったほうが３、負けたほうが０を得る。引き分けると（つまり「あいこ」だと）どちらのプレイヤーも１を得るとしよう。すると、どの戦略の組も、かならずそれにパレート優越的な組があるので、どの組もパレート効率的でないことになる。（たとえば、（ぐう、ちょき）という戦略の組にたいしては（ぱあ、ぐう）というパレート優越的組が存在する。）したがって、じゃんけんゲームにはパレート効率的な戦略の組は存在しない。

と書きましたが、訂正です。じゃんけんゲームは、むしろすべての戦略の組がパレート効率的である例ですね！たとえば、ここで例をあげた（ぱあ、ぐう）という戦略の組に対する利得は（3,0)で、（ぐう、ちょき）という戦略の組に対応する利得は（3,0)ですから、後者は前者に対してパレート優越的ではありません。
いまのところ、ゲームのすべての戦略の組がパレート非効率的であるようなゲームの例は見つかっておりません。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2015/10/25 13:52

>つまりパレート効率的、パレート非効率的な戦略の組は両方とも存在しない場合があると言う事ですよね？

そうです。パレート効率的な戦略の組が存在しないゲームの例は回答１で示しました。→じゃんけんゲームがその一例。
パレート非効率的な戦略の組が存在しないゲームがあるのは質問者ご自身が知っていると言っていますよね。私も例をあげてみましょう。「男女の諍いゲーム」の利得を少し修正したゲームはどうでしょう。ある恋人同士の男女（太郎と花子としましょうか）がデートの場所をめぐって争っている、あのゲームです。どちらのプレイヤーにも戦略は「サッカー」観戦に行くか、「バレエ」を見に行くか、の２つとする。利得は、両者ともサッカーに行くと、(3,1)、両者ともバレエに行くと、(1,3)であり、太郎が「サッカー」へ、花子が「バレエ」というふうに二人が別々の行動をとると(太郎が「バレエ」で、花子が「サッカー」でもよい）、利得は(2,2)だとしよう。ただし、（3,1)の中の、最初の数字3は太郎の利得を、次の数字１は花子の利得をあらわしている、ほかの数字の組も同様。このゲームには、どの戦略の組をとっても、その組に対してパレート優越な戦略の組が存在しない（確かめてください！）、すなわちどの組みもパレート効率的である、よって、このゲームはパレート非効率的な戦略の組が存在しない例だということです。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2015/10/24 21:29

まず質問の確認から、あなたが質問しているのは（１）「パレート効率的な戦略の組が存在しないゲームがあるのか」と尋ねているのか、それとも（２）「パレート効率的なナッシュ均衡が存在しないゲームがあるのか」と尋ねているのでしょうか？

(2)なら、たとえば、有名な「囚人のジレンマ」ゲームはそれにあたりますので、答えはイエスです。
(１)なら、やはりイエスです。
理由を説明する前に、用語を復習しておきましょう。ある戦略の組が別の組にたいしてパレート優越的であるとは、すべてのプレイヤーにとって前者の組のほうが後者の組より利得が大きいか等しく、少なくともあるプレイヤーにとっては前者の組のほうが後者の組より大きいときをいう。そしてある戦略の組がパレート効率的であるとは、その組にたいしてパレート優越的な組が（当該ゲームに）存在しないときをいう。
いまじゃんけんゲームを考えましょう。プレイヤーAとBがじゃんけんをする。各プレイヤーの戦略はぐう、ちょき、ぱあの３つである。利得は勝ったほうが３、負けたほうが０を得る。引き分けると（つまり「あいこ」だと）どちらのプレイヤーも１を得るとしよう。すると、どの戦略の組も、かならずそれにパレート優越的な組があるので、どの組もパレート効率的でないことになる。（たとえば、（ぐう、ちょき）という戦略の組にたいしては（ぱあ、ぐう）というパレート優越的組が存在する。）したがって、じゃんけんゲームにはパレート効率的な戦略の組は存在しない。