逆行列存在の必要十分条件

Question

行列Aが与えられており、その行列に逆行列が存在するための必要十分条件をｋを用いて示す問題です。

A=( 1  2  1)
    ( 2  7  4)
    ( 2  2  k+1)

この問題に対して

Aが正則であると仮定すると、A^-1が存在し
AA^-1 =E
両辺の行列式を求めると
|AA^-1|=|E|
|A||A^-1|=1
つまり
|A|≠0
である。ここでAの行列式をもとめると
|A|=3k-1
となるので、
3k-1≠０
k≠1/3
となる。

逆にk≠1/3と仮定すると、|A|≠０である。Aを用いて連立方程式を立てると

A(x y z)^T=(a b c)^T　ー①
x,y,zは未知数、a,b,cは任意定数とする。ここでa,b,cを未知数と見るとクラーメルの公式より

B(a b c)^T＝(x y z)^T　ー②
となる。②を①に代入すると

AB(a b c)^T=(a b c)^T
となるので、
AB＝E
である。したがってB=A^-1 であるためAは正則である。
つまりk≠1/3 のとき、Aは逆行列をもつ。

と回答しました。この回答で合ってますでしょうか、また間違いであるなら正解を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

tknakamuri · Accepted Answer

＞ご指摘頂いた部分について、A^-1が存在するとした時の性質について話しているだけで、
＞A^-1の存在には関係ない話をしているだけということでしょうか？

これはちょっと言いすぎでした申し訳ない。

「正則」という言葉が「使える」なら「正則」の様々な証明に立ち入らないという条件付きで、
質問者様の回答で○がもらえると思います。

uyama33 · Answer

B(a b c)^T＝(x y z)^T　ー②
となるB
の成分をきちんと計算できるならば、
そのBについて、
BA=AB＝E
となることを計算で示せば、
Aの逆行列が、Bであり、実際に存在することが示せる。
行列のサイズが小さいので、少し丁寧に計算すればよい。

１、k≠1/3のときは、分母が0にならないのでBを作れる。
２、実際作って、BA=AB＝Eが成立することを計算で確かめる。
３、この性質を持つ行列がAの逆行列である。よって逆号列は存在し、それはBである。
４、ほかに逆行列Cが存在したとするとC=Bとなることがすぐに示せる。
５、よって、k≠1/3のときは、逆行列が存在して、しかも一意的にきまる。

こんな感じになる。
ここでは、サイズが小さいので実際に逆行列を作る練習をしなさいということだと思います。

tknakamuri · Answer

>|A||A^-1|=1
>つまり
>|A|≠0

■存在するとすればこういう性質を持つ
■存在する

の2つは全く別物であることによく注意する必要が有ります。
#誰もがやってしまう典型的な間違いのひとつ。
逆行列の存在証明は結構大変で、ここでさらっとかけるものでは
ないです。

「線形代数入門」斎藤正彦 あたりで学んで下さい。

恐らく|A|≠0を定理として、それを前提に求める問題だと
思いますよ。

ngkdddjkk · Answer

Aが正則である、rankA=n(正方行列なら行と列の数)、A^-1が存在する
この3つは等価です。

必要条件を示すためにはrankを使ったほうがいいでしょう。
>|AA^-1|=|E|
>|A||A^-1|=1
が成り立つことを示さないといけない。
(もっとも、理学部学生ならこれは当たり前なのでしょうが)

逆行列存在の必要十分条件

＞ご指摘頂いた部分について、A^-1が存在するとした時の性質について話しているだけで、

B(a b c)^T＝(x y z)^T ー②

>|A||A^-1|=1

Aが正則である、rankA=n(正方行列なら行と列の数)、A^-1が存在する

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B(a b c)^T＝(x y z)^T　ー②