RLC回路の電流の時間変化

大学物理・電磁気の問題で質問があります。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
問題
コンデンサC、コイルL、抵抗Rを直列につなぎ、スイッチを開いてコンデンサに電荷Qを与えた。スイッチを閉じた時の電流はどのように時間変化するか



解答
０=L・dI(t)dt+RI(t)+Q(t)/C ・・・・・①

Q(t)=Aexp(αt)
I(t)=dQ(t)dt=αAexp(αt)
dI(t)dt=α^2 Aexp(αt)

これらを①に代入
０=L・α^2 Aexp(αt)+R・αAexp(αt)+(Aexp(αt))/C
∴０=Aexp(αt)｛L・α^2+Rα+1/C}

Aexp(αt)≠0より
L・α^2+Rα+1/C=0

この解は
α=[-R±√{R^2-(4L/C)}]/2L

2解をα1、α2とおく
Q(t)=A1exp(α１t)＋A２exp(α２t)
Q(0)=A1+A2 ・・・・・・②
I(t)=dQ(t)/dt=α1A1+α2A2 ・・・・・・③

②③より
A1=-{α2/(α1-α2)}Q
A2={α1/(α1-α2)}Q

Q(t)=-{α2/(α1-α2)}Qexp(α１t)＋{α1/(α1-α2)}Qexp(α２t)=-Q{α2exp(α１t)-α1exp(α2t)}/(α1-α2)
I(t)=dQ(t)/dt=-Qα1α2(exp(α１t)-1exp(α2t)/(α1-α2)

（ⅰ）R^2＞4L/C
α1、α2はともに負の実数→I(t)は単調減少

(ⅱ）R^2＜4L/C
α1、α2は複素数（共役）
I(t)=[-2Q/C√{(4L/C)-R^2}]・exp(-Rt/2L)・sin[(t/2L)√{(4L/C)-R^2}]


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

以上の問題の解答において
I(t)=dQ(t)/dt=-Qα1α2(exp(α１t)-1exp(α2t)/(α1-α2)
と

(ⅱ）R^2＜4L/C
α1、α2は複素数（共役）
I(t)=[-2Q/C√{(4L/C)-R^2}]・exp(-Rt/2L)・sin[(t/2L)√{(4L/C)-R^2}]

の間に、どういう計算をしているのかがわかりません。
よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/01/14 11:02

No.1Tacosanの言われる通りです。

細かいところが散漫なため結論に到達できていません。気を付けてください。

＞2解をα1、α2とおく
Q(t)=A1exp(α１t)＋A２exp(α２t)
Q(0)=A1+A2 ・・・・・・②
I(t)=dQ(t)/dt=α1A1+α2A2 ・・・・・・③

③が間違い。Iをまじめに微分してください。
I(t)=dQ(t)/dt=A1α１exp(α１t)＋A２α２exp(α２t)
t=0でI=0、つまり
I(0)=α1A1+α2A2 =0 ③'
②のQ(0)=Qと書くことにして
A1+A=Q ②'


②’, ③'を連立して
A1=-{α2/(α1-α2)}Q
A2={α1/(α1-α2)}Q


>Q(t)=-{α2/(α1-α2)}Qexp(α１t)＋{α1/(α1-α2)}Qexp(α２t)=-Q{α2exp(α１t)-α1exp(α2t)}/(α1-α2)
I(t)=dQ(t)/dt=-Qα1α2(exp(α１t)-exp(α2t)/(α1-α2) 　　（*0）


＞(ⅱ）R^2＜4L/C
α1、α2は複素数（共役）
I(t)=[-2Q/C√{(4L/C)-R^2}]・exp(-Rt/2L)・sin[(t/2L)√{(4L/C)-R^2}]
今までの結果を使ってこれを導く。

α=[-R±√{R^2-(4L/C)}]/2L
であるから

α1=[-R+i√{(4L/C)-R^2}]/2L　　　　　　　　　　　　（*1）
α2=[-R-i√{(4L/C)-R^2}]/2L　　　　　　　　　　　　（*2）
(iは虚数単位、i=√(-1) )

質問者はこれをしっかり押さえていないから計算が進めない。
(*1),(*2)をI(t)の式(*0)に代入すればよい。
記述の便を図るため
ω＝√{(4L/C)-R^2}/2L　　　　　　　　　　　　　　　（*3）　　
で表す。
α1=-R/2L+iω
α2=-R/2L-iω　　　　　　　　　　　　　

α1α2は(*1),(*2)を掛け算してもよいが元の２次方程式
Lα^2+Rα+1/C=0
の解と係数の関係より
α1α2＝1/LC (*4)
α1-α2＝2iω

I(t)=-Qα1α2(exp(α１t)-exp(α2t)/(α1-α2)
=-Q/LC/2iω{exp[(-R/2L+iω)t]-exp[(-R/2L-iω)t]}
=-Q/(2iωLC)exp[(-R/2L)t]{exp(iω)t-exp(-iω)t}
=-Q/(2iωLC)exp(-Rt/2L){cos(ωt)+isin(ωt)-[cos(ωt)-isin(ωt)]} (オイラーの公式)
=-Q/(2iωLC)exp(-Rt/2L){2isin(ωt)}
=-Q/(ωLC)exp(-Rt/2L)sin(ωt)
=-Q/([√{(4L/C)-R^2}/2L]LC)exp(-Rt/2L)sin([√{(4L/C)-R^2}/2L]t)
=-2Q/[C√{(4L/C)-R^2}]・exp(-Rt/2L)・sin[(t/2L)√{(4L/C)-R^2}]

この回答へのお礼

今後は丁寧な計算を心掛けます。非常にわかりやすい解答で、理解することができました。ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/14 22:24

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/14 11:01

③は不正確ですね。

まず
　　I(t)=dQ(t)/dt=α1*A1*exp(α1*t)＋α2*A2*exp(α2*t)
を求めて、その上で t=0 の初期条件 I(0)=0 を適用するということですね。

また、途中式の

＞I(t)=dQ(t)/dt=-Qα1α2(exp(α１t)-1exp(α2t)/(α1-α2)

は、正しくは
　　I(t)=dQ(t)/dt=-[ Q*α1*α2 / (α1 - α2) ] * [ exp(α1*t) - exp(α2*t) ]
ですね？

＞(ⅱ）R^2＜4L/C
α1、α2は複素数（共役）

このときには、下記の「オイラーの式」を使います。これを知らなければ、この式の変形は理解できないと思います。

　　exp(ix) = cos(x) + i*sin(x)

↓ 参考サイト
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/euler/eul …

項ごとに変換していけば、α1>α2 として、面倒なので　(4L/C) - R^2 = F > 0 と書いて
　　α1*α2 / (α1-α2) = [ -R + i(√F)/2L ] * [ -R - i(√F)/2L ] / { [ -R + i(√F) ] /2L - [ -R - i(√F) ] / 2L }
　　　　　= { [ R^2 + F ] / 4L^2 } / { 2 * i√F / 2L }　　　←第１項分子に　F = (4L/C) - R^2 適用
　　　　　= (4L/C) /{ i4L √F }
　　　　　= -i / (C √F) 　　（A）

　　exp(α1*t) = exp{t * [-R + i√F ] / 2L }
　　　　　　 = exp( -Rt/2L ) * exp{ it√F / 2L }　　←この第2項にオイラーの式を適用
　　　　　　 = exp( -Rt/2L ) * { cos( t√F / 2L ) + i*sin( t√F / 2L ) } 　　（B）

　　exp(α2*t) = exp{t * [-R - i√F ] / 2L }
　　　　　　 = exp( -Rt/2L ) * exp{ -it√F / 2L }　　←この第2項にオイラーの式を適用
　　　　　　 = exp( -Rt/2L ) * { cos( t√F / 2L ) - i*sin( t√F / 2L ) } 　　（C）

(A)(B)(C)を合体して、

　　I(t) = Q * (-i) * [ 1/ (C √F) ] * exp( -Rt/2L ) * { [ cos( t√F / 2L ) + i*sin( t√F / 2L ) ] - [ cos( t√F / 2L ) - i*sin( t√F / 2L ) ] }
　　　　= Q * (-i) * [ 1/ (C √F) ] * exp( -Rt/2L ) * 2i * sin( t√F / 2L )
　　　　= [2Q / (C √F) ] * exp( -Rt/2L ) * sin( t√F / 2L )

F = (4L/C) - R^2 を元に戻して
　　I(t) = { 2Q /(C √[(4L/C) - R^2]) } * exp( -Rt/2L ) * sin( t√[(4L/C) - R^2] / 2L )

この回答へのお礼

その通りです。大変失礼いたしました。丁寧な解答ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/14 22:23

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/14 09:53

a1, a2 に解を代入し、オイラーの定理を利用して展開する。

参考 オイラーの定理 e^(iθ)=cosθ +i・sinθ

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/14 22:23

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/01/14 01:31

α1, α2 を実際に L, C, R で書いて代入してるだけだと思う.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/01/14 22:23