複素数の計算

複素数の質問です。原点をOとする複素数平面上において、複素数α、βを表す点をそれぞれA,Bとする。
α、βが次の二式を満たす時、次の問いに答えよ。 ただし、iは虚数単位

|α|＝2
2(1+i)α−(√3+i)β＝0

(1) |β|を求めよ。

この問題を解いてほしいです
答えがないですが考え方でも教えてくれると助かります

No.3 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/01 23:29

2(1+i)α−(√3+i)β＝0

2(1+i)α＝(√3+i)β
|2(1+i)α|＝|(√3+i)β|
|2||(1+i)||α|＝|(√3+i)||β|
2･√(1^2+1^2)･2＝√{(√3)^2+1^2}･|β|
2･√2･2＝2|β|
|β|＝2√2

|αβ|＝|α||β|
を使って解けばよい

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2016/02/01 23:22

|α|＝2…①

2(1+i)α−(√3+i)β＝0…②

②式を変形する
β＝2(1+i)α/(√3+i)
さらに分母を実数にする
β＝2(1+i)(√3-i)α/((√3+i)(√3-i)）
β＝2(1+i)(√3-i)α/4
β＝(1+i)(√3-i)α/2
β＝((√3+1)+(√3-1)iα)/2
|β|=|(√3+1)+(√3-1)i||α|/2
上式に①式を代入する
|β|=|(√3+1)+(√3-1)i|2/2
|β|=|(√3+1)+(√3-1)i|

|β|=|√（(√3+1)^2+(√3-1)^2)|

|β|=|√（4+2√2)+(4-2√2)|
|β|=|√8|
|β|=2√2が求まる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/01 23:14

|α|＝2

ということは、
　α = 2sinθ + 2icosθ
と書けます。

これを第2式に代入すれば
　2(1+i)( 2sinθ + 2icosθ )−(√3+i)β
= 4sinθ + 4icosθ + 4isinθ - 4cosθ - (√3+i)β
= 4[(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)] - (√3+i)β
= 0

つまり
　β = 4[(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)] / (√3+i)
　　= 4[(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)]* (√3-i) / 4
　　= [(sinθ - cosθ) + i(sinθ + cosθ)]* (√3-i)
　　= [ √3(sinθ - cosθ) + (sinθ + cosθ)] + i[√3(sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)]
　　= [ (√3 + 1)sinθ - (√3 - 1)cosθ ] + i[ (√3 - 1)sinθ + (√3 + 1)cosθ ]

よって
　|β|^2 = [ (√3 + 1)sinθ - (√3 - 1)cosθ ]^2 + [ (√3 - 1)sinθ + (√3 + 1)cosθ ]^2
　　　　= (√3 + 1)^2 * sin^2θ - 2sinθcosθ + (√3 - 1)^2 * cos^2θ + (√3 - 1)^2 * sin^2θ + 2sinθcosθ + (√3 + 1)^2 * cos^2θ
　　　　= (√3 + 1)^2 + (√3 - 1)^2
　　　　= 8
∴ |β| = 2√2

計算違いがあるかもしれませんので、ご自分でも計算してみてください。