エルミート行列の行列式が１になり要素が√でない数

以下のようなエルミート行列があり、
{{1,0,0,0},{0,x,1/y+I/z,0},{0,1/y-I/z,x,0},{0,0,0,1}}
0<X<1,y>1,z>1
行列式が“１“になり、x,y,zが√にならない数は、どのようなものがあるでしょうか？
Xは、可能な限り“１”に近い方が良いです。

質問者からの補足コメント

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  ご回答有難う御座います。
  x = 12/13, 1/y = 3/13, 1/z = 4/13
  の場合は、119/169になり、１にならないです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/03 08:44

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  お返事有難う御座います。
  
  やっぱ、存在しないようですね。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/03 12:57

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/03 12:35

あ, 行列式を間違えてた (苦笑)... あれ? これ, 行列式は

x^2 - (1/y^2 + 1/z^2)
でいいんだよなぁ. でも, これを 1 にしようとすると
0<X<1
という範囲と矛盾しないか?

この回答へのお礼

お返事有難う御座います。

存在しないことが解りました。

お礼日時：2016/02/04 11:52

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/03 00:14

念の為訂正.

#1 の
x = 12/13, y = 3/13, z = 4/13
は
x = 12/13, 1/y = 3/13, 1/z = 4/13
の間違いです.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/02 19:07

I は虚数単位かな?

つまるところ
x^2 + 1/y^2 + 1/z^2 = 1
を満たす有理数 x, y, z を見つければいいということであれば, 例えば
x = 12/13, y = 3/13, z = 4/13
とかいくらでも作れる. 単純に
α^2 + β^2 = 1
であるような有理数 α, β (あるいは a^2 + b^2 = c^2 であるような整数 a, b, c) をどのくらい思いつくかだけの勝負だし.

ちなみに a^2 + b^2 = c^2 を満たす整数 a, b, c は (b を偶数とすると) 整数 m, n (m > n) を使って
a = m^2-n^2, b = 2mn, c = m^2+n^2
と表すことができる, というのも有名な話.